Уравнения математической физики 1 Примеры уравнений n

Уравнения математической физики 1

Примеры уравнений n Движение газа, жидкости по каналу, трубе, из сопла реактивного двигателя, акустические колебания, движение тела в газе или жидкости: 2

3

Уравнение непрерывности Волновое уравнение 4

Например n Рассматривая процессы в телеграфных или телефонных линиях, при помощи законов Кирхгофа можно получить систему уравнений 5

6

Уравнение теплопроводности 7

Уравнение Пуассона Уравнение Лапласа 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ n Дифференциальное уравнение вида связывающее независимые переменные неизвестную функцию и её частные производные (хотя бы одну) называется дифференциальным уравнением в частных производных. 9

n n Здесь целые неотрицательные числа, такие, что и известная функция своих аргументов. Порядок дифференциального уравнения наивысший порядок входящей в него частной производной. 10

n Пусть дано д. у. (1) m-порядка. Решением д. у. (1) в некоторой области D независимых переменных называется любая функция которая при подстановке в (1) обращает уравнение (1) в тождество по в D. 11

12

Если решение д. у. ч. п. содержит произвольные дифференцируемые функции, то такие решения называются общими, т. к. любое частное решение можно получить из общего удобным выбором произвольных функций. n Д. у. ч. п. может иметь очень малое или даже пустое множество решений. Например, n 13

n n Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно по отношению к неизвестной функции и всем её производным. В противном случае уравнение называется нелинейным. Например, - линейное; а уравнения - нелинейные. 14

15

Если , то уравнение (2) называется однородным, в противном случае неоднородным. Обозначив левую часть (2) как , можно переписать (2) в операторном виде n и соответствующее однородное уравнение Здесь L линейный дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве 16

n Основываясь на линейности оператора, можно сформулировать свойства решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных. решение линейного однородного уравнения , тогда где С постоянная, тоже будет решением этого уравнения. 1 о Если 17

2. Если и решения линейного однородного уравнения , тогда их сумма тоже будет решением этого уравнения. Следствие 10 -20. Если решения линейного однородного уравнения, тогда их линейная комбинация n где постоянные, тоже будет решением этого уравнения. 18

3. Если решение линейного неоднородного уравнения а решение соответствующего однородного уравнения , тогда их сумма + тоже будет решением неоднородного уравнения n 4. Если решение уравнения а решение уравнения , тогда их сумма будет решением уравнения. n 19

Линейные уравнения второго порядка в частных производных 20

n В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции двух независимых переменных и имеет вид где известные функции двух переменных и , определённые в некоторой области D плоскости 21

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется n гиперболическим в D, если в D; n параболическим в D, если в D; n эллиптическим в D, если в D. 24

n Можно доказать, что при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (1) существует несингулярное преобразование переменных которое приводит уравнение (1) к более простой, канонической форме, особой для каждого типа уравнений. 26

n Если уравнение (1) гиперболическое , то оно преобразуется к виду или Это две канонических формы гиперболического уравнения. 27

n Если уравнение (1) параболическое , то его можно привести к виду Это каноническая форма параболического уравнения. 28

n Если уравнение (1) эллиптическое , то его можно привести к виду Это каноническая форма эллиптического уравнения. 29

n Как правило, приведение (1) к каноническому виду с помощью замены переменных локально по своей природе, т. е. допустимо только в некоторой малой окрестности точки. В случае большего числа переменных уравнения также могут быть гиперболическими, параболическими и эллиптическими. Например, при , простейшие канонические формы уравнений имеют вид 30

31

Основные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка 33

n Будем различать три главных типа задач для дифференциальных уравнений в частных производных: (а) задача Коши для гиперболического и параболического уравнений: заданы начальные условия; область совпадает со всем пространством ; нет граничных условий; 34

n n (б) граничная задача для эллиптических уравнений: заданы граничные условия на границе S области ; начальных условий нет; (в) смешанная задача для гиперболических и параболических уравнений: заданы начальные и граничные условия, . 35

Характеристическое уравнение и характеристики 36

37

38

39

40

41

Пример 1 42

44

45

46

ОТВЕТ 47

Пример 2 49

50

51

ОТВЕТ 52

Пример 3 54

55

56

ОТВЕТ 57