Скачать презентацию Уравнения математической физики 1 Примеры уравнений n Скачать презентацию Уравнения математической физики 1 Примеры уравнений n

UMF_L1.ppt

  • Количество слайдов: 50

Уравнения математической физики 1 Уравнения математической физики 1

Примеры уравнений n Движение газа, жидкости по каналу, трубе, из сопла реактивного двигателя, акустические Примеры уравнений n Движение газа, жидкости по каналу, трубе, из сопла реактивного двигателя, акустические колебания, движение тела в газе или жидкости: 2

3 3

Уравнение непрерывности Волновое уравнение 4 Уравнение непрерывности Волновое уравнение 4

Например n Рассматривая процессы в телеграфных или телефонных линиях, при помощи законов Кирхгофа можно Например n Рассматривая процессы в телеграфных или телефонных линиях, при помощи законов Кирхгофа можно получить систему уравнений 5

6 6

Уравнение теплопроводности 7 Уравнение теплопроводности 7

Уравнение Пуассона Уравнение Лапласа 8 Уравнение Пуассона Уравнение Лапласа 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ n Дифференциальное уравнение вида связывающее независимые переменные неизвестную функцию ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ n Дифференциальное уравнение вида связывающее независимые переменные неизвестную функцию и её частные производные (хотя бы одну) называется дифференциальным уравнением в частных производных. 9

n n Здесь целые неотрицательные числа, такие, что и известная функция своих аргументов. Порядок n n Здесь целые неотрицательные числа, такие, что и известная функция своих аргументов. Порядок дифференциального уравнения наивысший порядок входящей в него частной производной. 10

n Пусть дано д. у. (1) m-порядка. Решением д. у. (1) в некоторой области n Пусть дано д. у. (1) m-порядка. Решением д. у. (1) в некоторой области D независимых переменных называется любая функция которая при подстановке в (1) обращает уравнение (1) в тождество по в D. 11

12 12

Если решение д. у. ч. п. содержит произвольные дифференцируемые функции, то такие решения называются Если решение д. у. ч. п. содержит произвольные дифференцируемые функции, то такие решения называются общими, т. к. любое частное решение можно получить из общего удобным выбором произвольных функций. n Д. у. ч. п. может иметь очень малое или даже пустое множество решений. Например, n 13

n n Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно по отношению к n n Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно по отношению к неизвестной функции и всем её производным. В противном случае уравнение называется нелинейным. Например, - линейное; а уравнения - нелинейные. 14

15 15

Если , то уравнение (2) называется однородным, в противном случае неоднородным. Обозначив левую часть Если , то уравнение (2) называется однородным, в противном случае неоднородным. Обозначив левую часть (2) как , можно переписать (2) в операторном виде n и соответствующее однородное уравнение Здесь L линейный дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве 16

n Основываясь на линейности оператора, можно сформулировать свойства решений линейных дифференциальных уравнений в частных n Основываясь на линейности оператора, можно сформулировать свойства решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных. решение линейного однородного уравнения , тогда где С постоянная, тоже будет решением этого уравнения. 1 о Если 17

2. Если и решения линейного однородного уравнения , тогда их сумма тоже будет решением 2. Если и решения линейного однородного уравнения , тогда их сумма тоже будет решением этого уравнения. Следствие 10 -20. Если решения линейного однородного уравнения, тогда их линейная комбинация n где постоянные, тоже будет решением этого уравнения. 18

3. Если решение линейного неоднородного уравнения а решение соответствующего однородного уравнения , тогда их 3. Если решение линейного неоднородного уравнения а решение соответствующего однородного уравнения , тогда их сумма + тоже будет решением неоднородного уравнения n 4. Если решение уравнения а решение уравнения , тогда их сумма будет решением уравнения. n 19

Линейные уравнения второго порядка в частных производных 20 Линейные уравнения второго порядка в частных производных 20

n В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции двух независимых переменных n В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции двух независимых переменных и имеет вид где известные функции двух переменных и , определённые в некоторой области D плоскости 21

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется n гиперболическим в D, если в D; n параболическим в D, если в D; n эллиптическим в D, если в D. 24

n Можно доказать, что при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (1) существует несингулярное преобразование n Можно доказать, что при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (1) существует несингулярное преобразование переменных которое приводит уравнение (1) к более простой, канонической форме, особой для каждого типа уравнений. 26

n Если уравнение (1) гиперболическое , то оно преобразуется к виду или Это две n Если уравнение (1) гиперболическое , то оно преобразуется к виду или Это две канонических формы гиперболического уравнения. 27

n Если уравнение (1) параболическое , то его можно привести к виду Это каноническая n Если уравнение (1) параболическое , то его можно привести к виду Это каноническая форма параболического уравнения. 28

n Если уравнение (1) эллиптическое , то его можно привести к виду Это каноническая n Если уравнение (1) эллиптическое , то его можно привести к виду Это каноническая форма эллиптического уравнения. 29

n Как правило, приведение (1) к каноническому виду с помощью замены переменных локально по n Как правило, приведение (1) к каноническому виду с помощью замены переменных локально по своей природе, т. е. допустимо только в некоторой малой окрестности точки. В случае большего числа переменных уравнения также могут быть гиперболическими, параболическими и эллиптическими. Например, при , простейшие канонические формы уравнений имеют вид 30

31 31

Основные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка 33 Основные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка 33

n Будем различать три главных типа задач для дифференциальных уравнений в частных производных: (а) n Будем различать три главных типа задач для дифференциальных уравнений в частных производных: (а) задача Коши для гиперболического и параболического уравнений: заданы начальные условия; область совпадает со всем пространством ; нет граничных условий; 34

n n (б) граничная задача для эллиптических уравнений: заданы граничные условия на границе S n n (б) граничная задача для эллиптических уравнений: заданы граничные условия на границе S области ; начальных условий нет; (в) смешанная задача для гиперболических и параболических уравнений: заданы начальные и граничные условия, . 35

Характеристическое уравнение и характеристики 36 Характеристическое уравнение и характеристики 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

Пример 1 42 Пример 1 42

44 44

45 45

46 46

ОТВЕТ 47 ОТВЕТ 47

Пример 2 49 Пример 2 49

50 50

51 51

ОТВЕТ 52 ОТВЕТ 52

Пример 3 54 Пример 3 54

55 55

56 56

ОТВЕТ 57 ОТВЕТ 57