Уравнения гиперболического типа гиперболическим в D если в

Уравнения гиперболического типа гиперболическим в D, если в D: 1

Волновое уравнение 2

Телеграфное уравнение 3

4

5

6

7

8

Малые поперечные колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Натяжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x = 0 и x = l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе, то точки струны будут совершать движения − говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. 9

u Tx u(t, x) Ty 0 T l х 10

u Tx u(t, x) Ty 0 T l х 11

1. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик) 2. Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных) 12

Интерпретация n n Моделирование Объект Результат физ. моделироваия n Физ. Модель Интерпретация Моделирование Результат мат. моделирования n Мат. Модель n Исследование мат. модели

Задачи математической физики для уравнений гиперболического типа 1. Задача Коши 2. Краевые задачи Первая краевая Вторая краевая Третья краевая Смешанные краевые 14

Задачи математической физики для уравнений гиперболического типа 15

1. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик) Уравнение характеристик 16

17

18

Задача Коши для волнового уравнения Начальные условия -∞ < x < +∞ 19

20

21

– Формула Даламбера 22

Для выявления характера данного решения удобно воспользоваться плоскостью состояний (x, t) или «фазовой плоскостью» . Прямые x – at = const и x + at = const называются характеристиками уравнения. Функция u = f(x – at) вдоль характеристики x – at = const сохраняет постоянное значение, функция u = f(x + at) постоянна вдоль характеристики x + at = const. Рассмотрим некоторую фиксированную точку (x 0, t 0) и проведем из нее обе характеристики x – at = x 0 − at 0 и x + at = x 0 + at 0, которые пересекают ось X в точках x 1 = x 0 − at 0 и x 2 = x 0 + 23 at 0 , t=0.

Из формулы Даламбера видно, что отклонение (x 0, t 0) точки струны в момент времени t 0 зависит, только от значений начального отклонения в вершинах, P и Q треугольника ΔMPQ, и от значений начальной скорости на стороне PQ (аналогично, для любого P 1 Q 1. 24

25

Если начальная скорость равна нулю, то отклонение u = u 1(x, t) есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией 0, 5φ(x), равной половине начального отклонения. I, V - колебаний нет; II – волна движется налево IV – волна движется направо III – две волны 26

27

Задача 1. Решить задачу волнового уравнения: Коши для Решение. 28

29

Задача 2. Решить задачу волнового уравнения Коши для Решение. 30

31

Использование метода Фурье 1. Первая краевая задача. Найти решение волнового уравнения в области 0 < x < l, t > 0, удовлетворяющее начальным условиям: – задано отклонение каждой точки струны от положения равновесия в момент времени t = 0: u(x, 0) = f(x), x < 0 < l; – заданы скорость каждой точки струны в момент времени t = 0 и граничные условия: – концы струны x = 0 и x = l жестко закреплены: 32

Идея метода Фурье (разделения переменных состоит в том, что решение уравнения ищется в виде т. е. функция двух переменных представляется в виде произведения двух функций, каждая одной переменной. Найдем частные производные функций. 33

В последнем уравнении разделим переменные: Равенство двух функций разных переменных при всех значениях означает, что каждая из этих функций есть постоянная, поэтому приравниваем каждую из них к некоторой неопределенной пока отрицательной константе (при выборе положительной постоянной решением нашей задачи является тождественный ноль). Из последнего соотношения можно написать два независимых друг от друга дифференциальных уравнения: 34

Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения ; второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения для них соответственно имеют вид: , отсюда 35

Тогда общие решения для уравнений примут вид: Постоянные , С 1, С 2, С 3, С 4 определим из граничных и начальных условий. Итак, общее решение волнового уравнения имеет вид 36

Используем первое граничное условие при x = 0 и t ≥ 0 : Так как t > 0 произвольное, то С 3 = 0. Используем второе граничное условие при x = l, с учетом, что С 3 = 0 : Последнее равенство выполняется для всех t > 0, если С 4 sin l = 0. Предположим, что С 4 ≠ 0. Иначе, когда С 3 = = С 4 = 0 мы получаем тривиальное решение U(x, y) = 0. 37

Следовательно, или l = np, где n = ± 1, ± 2, …. n = 0 исключили, т. к. в этом случае получили бы тривиальное решение. Из последнего соотношения получим n = ± 1, ± 2, …. Итак, решение при граничных условиях примет вид для n = ± 1, ± 2, … : 38

Для каждого значения n получим свое значение решения. Суммируя решения при всех значениях n, вновь получим решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям: Постоянные и начальных условий, при t = 0: найдем из 39

Соотношение можно рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции f(x) с коэффициентами разложения A, определяемыми, как известно из теории рядов Фурье, соотношением Определим производную по t для решения 40

Подставим t = 0 и получим начальное условие в виде Это соотношение будем рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции j (x) с коэффициентами разложения Тогда 41

Отметим важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя оба члена, перепишем решение в виде Видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний вида 42

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна 43

1 2 3 4 44

На рис. изображены последовательные положения струны для случаев n = 1, 2, 3, 4. Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это так называемые узлы. Середины участков (пучности) колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн. 45

Основной тон определяется первой составляющей y 1, ей отвечают частота w 1 = pa/l и период T 1 = 2 l/a. Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного тона будет играть второй обертон с периодом T 2 = T 1/2 и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению! 46