УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 1
Гипотеза де Бройля Каждой частице можно поставить в соответствие волну вероятности Длина этой волны определяется соотношением
Смысл пси-функции Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому мы говорим только о квадрате модуля амплитуды волновой функции который имеет вероятности. смысл плотности
Смысл пси-функции ИТАК: Величина есть плотность вероятности, а величина - вероятность обнаружить частицу в объеме
Свойства пси-функции • Пси функция непрерывная. • Пси функция гладкая (то есть её производная тоже непрерывная). • Пси-функция нормирована, то есть интеграл квадрата её модуля по всему объёму равен единице
Размерность пси-функции Вероятность – безразмерная величина. Поэтому в трехмерном случае откуда получаем
Размерность пси-функции Соответственно в двухмерном случае и в одномерном
ПРИМЕР Задана пси-функция Ψ(x, y, z) частицы. Вероятность того, что частица будет обнаружена в объёме V, определяется выражением … Варианты ответов: 1) 4) 2) 3) 5) Даже не зная определения и смысла пси-функции, видим, что единственная безразмерная величина – в пятом ответе. Но определение лучше знать !
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Поскольку пси-функция является волной, то она должна удовлетворять волновому уравнению: С другой стороны, волновой процесс предполагает, что в точке с координатами происходит колебательный процесс.
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера В свою очередь, это означает, что процесс в точке удовлетворяет дифференциальному уравнению колебаний где
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Таким образом, можно сделать подстановку, и из уравнений получить
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Или, выражая частоту через длину волны
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Упростим, и учтем, что длина волны функции вероятности равна дебройлевской длине волны
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Упростим, и учтем, что длина волны функции вероятности равна дебройлевской длине волны где - импульс частицы.
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Выразим импульс частицы через её энергию. Если частица движется в поле с потенциальной энергией обладая при этом полной энергией то её кинетическую энергию можно записать так:
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Таким образом Мы получили стационарное, то есть независящее от времени уравнение Шрёдингера. Его надо выучить.
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Используя оператор Лапласа, уравнение можно переписать в виде или Эти уравнения тоже лучше выучить.
Волновое уравнение – уравнение Шрёдингера Нестационарное, то есть зависящее от времени уравнение Шрёдингера имеет вид где - мнимая единица.
Решение уравнения Шрёдингера Рассмотрим одномерный случай для частицы, находящейся в потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. За пределы ямы частица попасть не может, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю.
Решение уравнения Шрёдингера В силу непрерывности пси-функции её значения на границах ямы также равны нулю Внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, выполняется условие
Решение уравнения Шрёдингера Обозначив Получим знакомое нам уравнение где двумя штрихами обозначена вторая производная по координате
Решение уравнения Шрёдингера Его решение запишем в виде Используя граничные условия получаем:
Решение уравнения Шрёдингера Из первого следует, что Из второго -
Решение уравнения Шрёдингера Объединяя уравнения и Получаем:
Решение уравнения Шрёдингера В этой формуле индекс у энергии подчеркивает её зависимость от параметра n. Этот параметр получил название главного квантового числа.
Решение уравнения Шрёдингера Теперь решение уравнения Шредингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид
Решение уравнения Шрёдингера Амплитуду а найдём из условия нормировки: Интегрирование даёт
Решение уравнения Шрёдингера Итак, окончательно имеем: Далее будут приведены графики пси-функций и соответствующих им плотностей вероятности для нескольких главных квантовых чисел.
Графики волновых функций и соответствующих им плотностей вероятности Пси-функция непрерывна, поэтому существует и здесь, но вне ямы тождественно равна нулю!
Графики волновых функций и соответствующих им плотностей вероятности На ширине ямы умещается две полуволны
Графики волновых функций и соответствующих им плотностей вероятности На ширине ямы умещается три полуволны
Графики волновых функций и соответствующих им плотностей вероятности На ширине ямы умещается четыре полуволны Узлы пси-функции Вероятность обнаружить частицу в этих точках равна 0
Некоторые, легко вычисляемые, вероятности обнаружения частицы в различных областях Разберём это на примере главного квантового числа Вероятность обнаружения частицы в области равна единице
Некоторые, легко вычисляемые, вероятности обнаружения частицы в различных областях Вероятность обнаружения частицы в узлах пси-функции равна нулю Вероятность обнаружения частицы вне потенциальной ямы равна нулю
Некоторые, легко вычисляемые, вероятности обнаружения частицы в различных областях Поскольку вероятность обнаружения частицы в области равна интегралу То её можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции
Некоторые, легко вычисляемые, вероятности обнаружения частицы в различных областях Поэтому вероятность обнаружить частицу в каждой из выделенных областей одинакова и равна
ПРИМЕР 1 На рисунках приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n=2 соответствует распределение… Для определения главного квантового числа считаем количество горбов у квадрата пси-функции или количество полуволн у самой пси-функции.
ПРИМЕР 2 Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет вид: В яме укладывается одна волна де. Бройля, длина которой равна L Величина импульса частицы в первом возбужденном состоянии (n=2) равна. . . Варианты ответов:
ПРИМЕР 3 Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле где ω – плотность вероятности, определяемая ψ – функцией. Если ψ – функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна Варианты ответов: 1) 2/3; 2) 5/6 3) 1/2; 4) 1/3
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ, ОСОБЫХ СЛУЧАЕВ 40
Уравнение Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками 41
Уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осцилятора Если колебания осциллятора происходят под действием некоторой квазиупругой силы то его потенциальная энергия может быть записана в виде 42
Уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осцилятора Частота колебаний такого осциллятора аналогична частоте колебаний груза напружине: откуда и, следовательно, 43
Уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора Из стационарного уравнения Шрёдингера и выражения для потенциальной энергии Получаем уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора: 44
Уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном ионе Водородоподобный ион – ядро и один электрон. Потенциальная энергия электрона в поле ядра определяется произведением заряда электрона на потенциал той точки, где он находится: Подставляя в трехмерное стационарное уравнение Шрёдингера, получаем: 45
Характерные признаки разных уравнений Трёхмерный случай. Стационарное уравнение. Одномерный случай. Стационарное уравнение. Трёхмерный случай. нестационарное уравнение. 46
Характерные признаки разных уравнений Частица в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Стационарное уравнение. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарное уравнение. Бесконечно высокие стенки говорят о том, что потенциальную энергию внутри ямы можно положить равной нулю. В уравнении Шрёдингера 47 потенциальная энергия U отсутствует.
Характерные признаки разных уравнений Линейный гармонический осциллятор Электрон в водородоподобном ионе 48
Ключевые понятия и выводы • Волновая функция (пси-функция) – функция координат и времени, квадрат модуля которой описывает вероятность нахождения частицы в данной точке пространства; • Уравнение Шрёдингера – уравнение, которому должна удовлетворять пси-функция конкретной частицы; 49
Ключевые понятия и выводы свойства пси-функции: • пси функция непрерывная; • пси функция гладкая (то есть её производная тоже непрерывная); • пси-функция нормирована, то есть интеграл квадрата её модуля по всему объёму равен единице 50
Ключевые формулы Формула Название Длина волны де. Бройля Стационарное уравнение Шрёдингера в декартовых координатах 51
Ключевые формулы Формула Название Уравнение Шрёдингера для электрона Стационарное уравнение Шрёдингера для одномерной потенциальной ямы 52
53
Скачать презентацию УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 1 Гипотеза де Бройля Каждой
Лекция_14_Уравнение _Шредингера.ppt