Уравнение движения Основная цель динамики создание методов

§§ Уравнение движения Основная цель динамики создание методов решения задач следующего типа: дана: определенная физическая система в определенных внешних условиях найти: что произойдет с системой через некоторый промежуток времени 02

Решение состоит из нескольких этапов 1) установление физических величин, описывающих состояние системы 2) составление уравнений движения, описывающих изменение состояния системы во времени 3) нахождение физических величин, измерение которых позволяет судить о том, что происходит с исследуемой системой. примеры: 03

Фундаментальный закон классической механики состояние частицы определяется полностью, если указаны ее координата и скорость Система из N классических частиц имеет 3 N степеней свободы и ее состояние описывается набором из 6 N величин: Уравнения движения системы – дифф. уравнения 2 -го порядка: 04

Ими определяется целый набор решений. Решение конкретной задачи (частное р. ) определяется дополнительными условиями (начальными, граничными и др. ) Пример. Уравнение движения: Пусть сила постоянна: Тогда – две постоянные, определяющие решение задачи. 05

§§ Второй закон Ньютона Импульсом или количеством движения мат. точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость [m] = 1 кг [P] = 1 кг∙м/с [υ] = 1 м/с Импульсом или количеством движения системы МТ называется векторная сумма импульсов отдельных МТ, из которых эта система состоит 06

Сила – векторная величина, являющаяся мерой взаимодействия м. т. (тел) и физических полей, в результате чего м. т. (тела) получают ускорения или деформируются За меру интенсивности воздействия принимают производную импульса по времени: (υ<

§§ Принцип суперпозиции сил Если на м. т. действует несколько сил то каждая из этих сил сообщает м. т. ускорение : , суммируя, получаем где – равнодействующая сила 08

§§ Третий закон Ньютона Рассмотрим систему материальных точек Точки могут взаимодействовать между собой (внутренние силы, F int – internal) и с точками, не входящими в систему (внешние силы, Fext – external) Система МТ называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют. 09

III-й закон Ньютона для замкнутой системы двух МТ (называется также законом парности взаимодействия): Силы взаимодействия двух МТ равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль одной прямой, соединяющей эти МТ. 10

Запишем II-й з-н Ньютона для всех точек в системе: и так далее. Складывая, получаем: 11

– импульс СМТ – равнодействующая внешних сил Закон сохранения импульса Если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, т. е. не меняется со временем. 12

Импульс силы изменение импульса системы МТ импульс силы, действующий на систему 13

§§ Теорема о движении центра масс Центром масс (инерции) системы МТ называется такая воображаемая точка, радиус-вектор которой определяется выражением где – радиус-вектор точки 14

Найдем производную по времени – масса системы МТ – скорость центра масс Подставляя полученное выражение во второй закон Ньютона, получаем 15

теорема о движении центра масс центр масс системы двигается как МТ, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме внешних сил, действующих на систему 16

Пример: Найти положение центра масс прямоугольного треугольника – граница объекта – размер элемента – его площадь Площадь всей фигуры: т. к. , то 17

Масса элемента: Координата x центра масс: , аналогично 18

§§ Космические скорости Вычислим круговую скорость: 19

Первая космическая скорость: ≈ 7, 9 км/с Вторая космическая скорость: 20

≈ 11, 2 км/с При траектория тела – эллипс, у которого в одном из фокусов – Солнце Третья космическая скорость: υIII ≈ 44, 7 км/с υmin ≈ 16, 7 км/с υmax ≈ 72, 7 км/с Четвертая: υIV ≈ 360 км/с 21

§§ Реактивное движение Пусть ракета – м. т. переменной массы. Рассмотрим систему «ракета+отделяющееся вещество» в моменты t и t+Δt. – масса ракеты (убывает) – изменение массы ракеты – скорость ракеты – изменение скорости ракеты – действующие внешние силы – скорость истечения газовой струи 22

Согласно ЗСИ: – масса газа – скорость образовавшихся газов Раскроем скобки и учтем, что относительная скорость истечения газов 23

Разделим все уравнение на перейдем к пределу Δt и – уравнение Мещерского – скорость отделения или присоединения вещества (расхода топлива) – реактивная сила 24

При движении объекта в жидкости или газе учитывают силу сопротивления При малых скоростях течение жидкости (газа) – ламинарное (безвихревое) α – коэффициент сопротивления, определяемый свойствами среды и поверхности тела, формой тела 25

При увеличении скорости, течение жидкости (газа) становится вихревым или турбулентным 26

Рассмотрим случай при получаем 27

– формула Циолковского эта приближенная формула дает оценку снизу для запаса топлива, необходимого для достижения ракетой скорости υ Например: (I к. с. ) 28

1 0, 69 2 1, 10 3 1, 39 4 1, 61 5 1, 79 10 2, 40 крупные ракеты на жидком топливе 29

30