Уральский государственный технический университет — УПИ Кафедра Инженерная

Уральский государственный технический университет - УПИ Кафедра “Инженерная графика” НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ автор Кириллова Татьяна Ивановна доцент

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ занимается построением изображений и изучением пространственных объектов по их изображениям графическими методами

Ортогональный чертеж точки Точка – простейший графический примитив П 2 Z Горизонтальная А 2 плоскость А А 3 проекций - П 1 ZA Фронтальная XA плоскость O X проекций - П 2 YA П 3 Профильная А 1 плоскость П 1 Y проекций - П 3 • ось горизонтальная проекция точки А; • А 1 - ОX – абсцисс • ось ОZ - аппликат • А 2 - фронтальная проекция точки А; • ось ОY – ординат • О – начало • А 3 - профильная проекция точки А. координат • Расстояние от точки до плоскости проекций – это координаты точки – А(XА, YА, ZА)

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ЧЕРТЕЖ - ЭПЮР Z П 2 А 2 А ZA X А 2 А 3 ZA XA O П 3 П 1 Y П 3 XA X YA А 1 Z Y YA А 1 П 1 Y Три координаты точки и две проекции изображение Ортогональный чертеж или эпюр - точки определяют путем параллельного прямоугольного полученное ее положение в пространстве проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, совмещенные с фронтальной плоскостью проекций

Ортогональный чертеж прямой линии ВИДЫ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ Прямые частного положения Прямые общего положения

Прямые частного положения: • ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ – прямые перпендикулярные плоскостям проекций • ЛИНИИ УРОВНЯ – прямые параллельные плоскостям проекций;

1. Проецирующие прямые Горизонтальнопроецирующая прямая А 2 Z О А 1 Ξ B 1 AB ┴ П 1 IА 2 В 2 I = I АВ I Y Z C 2ΞD 2 О X B 2 X Фронтальнопроецирующая прямая D 1 CD ┴ П 2 I C 1 D 1 I = I CD I Y

2. Прямые уровня Фронтальная прямая, фронталь f Горизонтальная прямая, горизонталь h А 2 В 2 D 2 Z C 2 X y А 1 Z f X В 1 Y AВ II П 1 ; ZА=ZB IА 1 В 1 I = IАВI АВ П 2=А 1 В 1 OX= y C 1 D 1 Y CD II П 2 ; УС = YD IС 2 D 2 I = ICDI CD П 1= С 2 D 2 OX=f

Ортогональный чертеж прямых линий общего положения не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕСЕКАЮЩИХ ВНЕ ЕЕ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ A a Следы плоскости – линии пересечения данной плоскости с плоскостями проекций

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ • Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Z a. П 2 az a a-плоскость; aп 1 - горизонтальный след плоскости a; a. П 3 aп 2 - фронтальный след плоскости a; ax X a п 1 aп 3 - профильный след плоскости a; ay ax, ay, az - точки схода следов. Y

Плоскости частного положения • ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ плоскости параллельные плоскостям проекций – • ПЛОСКОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩИЕ плоскости перпендикулярные плоскостям проекций –

Горизонтальная плоскость уровня a. II П 1 a. П 2 a Z В 2 С az 2 А 2 a. П 2 az a. П 3 А 2 В 1 В 1 А 1 С 1 Y С 2 a. П 3 Y X X Z А 1 С 1 Y ΔАВС ; IABCI=IA 1 B 1 C 1 I

Фронтальная плоскость уровня b I| П 2 Z b В 2 Z b. П 3 А 2 С 2 b. П 3 Y X b п 1 by X by А 1 Y В 1 С 1 b п 1 ΔАВС ; IABCI=IA 2 B 2 C 2 I Y by

2. Проецирующие плоскости ┴П 1 Горизонтально проецирующая плоскость ΔАВС Z П В 2 Z П 2 2 П 3 А 2 x X X П 3 п 1 y Y С 2 x y А 1 y В 1 п 1 С 1 y Y Y

Фронтально проецирующая плоскость ┴ П 2 ΔАВС Z П 2 Z z П 2 z С 2 П 3 В 2 П 3 А 2 X x X f Y x П 1 А 1 С 1 В 1 Y п 1 Y

ПОВЕРХНОСТИ

ПОВЕРХНОСТИ ПОВЕРХНОСТЬ МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ ЛИНИЯ ПЕРЕМЕЩАЮЩАЯСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ - ОБРАЗУЮЩАЯ ЛИНИЯ ПО КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ - НАПРАВЛЯЮЩАЯ

Образующая Направляющая

ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ Графический способ задания поверхности Очерк поверхности при ортогональном проецировании – это границы проекций поверхности или следы проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, на плоскостях проекций

Поверхность П 1 Огибающая цилиндрическая поверхность Очерк поверхности

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ПОВЕРХНОСТИ Линейчатые ываемые Неразвертываемые Нелинейчатые С постоянной образующей С переменной образующей

Гранные поверхности Призма - образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей L – образующая m – направляющая Образующие параллельны другу Призма прямая и правильная если в основании правильный многоугольник, а образующие перпендикулярны основанию L 2 m 1

Пирамида – образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Все образую щие имеют общую точку – вершину пирамиды L – образующая m - направляющая Пирамида прямая и правильная, если в основании правильный многоугольник, а высота перпендикулярна основанию L 2 m 1 L 1

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ m 2 m – криволинейная направляющая i – ось вращения L – прямолинейная образующая i 2 L 2 0 X L 1 i 1 m 1

ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ i 2 S L 2 i 1 L 1 i – ось вращения L – прямолинейная образующая S – вершина конической поверхности

ПОВЕРХНОСТЬ CФЕРЫ n 2 i 2 э2 э1 n 1 i 1 I – ось вращения n – криволинейная образующая (окружность) Очерковые линии сферы называются экватор э главный меридиан n

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОТКРЫТЫЙ ТОР n 2 R i 2 R r R+r n 1 R i – ось вращения n – образующая (окружность) i 1 I 1 r

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ САМОПЕРЕСЕКАЮЩИЙСЯ ТОР (тор - бочка) i 2 r n 2 R n 1 R i 1 i – ось вращения n – образующая (окружность) r>R

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ - это линия пересечения поверхности и плоскости или совокупность точек одновременно принадлежащих поверхности и плоскости

СЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ • Сечение гранной поверхности – многоугольник, который строится по точкам пересечения секущей плоскости и ребер многогранника 32 Ξ 42 12 Ξ 22 11 21 31 41

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ 1. αbi – окружность αп 2 12 i 2 2. β^ i – эллипс 22 3. γ ll i - прямоугольник L 2 βп 2 i 1 L 1 γ п 1 11 21

СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ γп 2 αп 2 L 2 i 2 1. α bi – окружность 2. β ^ i – эллипс S 2 βп 2 i 1 L 1 3. γ – треугольник γ проходит через вершину S

СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ 4. μ – гипербола μ ll I 5. η – парабола η ll L i 2 η п 2 S L 2 i 1 L 1 μ п 1

СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ Сечение сферы плоскостью – окружность, которая может проецироваться как: прямая линия окружность эллипс

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

• Линия пересечения поверхностей совокупность точек одновременно принадлежащих двум пересекающимся поверхностям • Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей - Линия пересечения многогранников ломаная линия

- Линия пересечения многогранника и поверхности вращения - сочетание плоских кривых линий (парабола, гипербола, эллипс и т. д. ) - Линия пересечение двух поверхностей второго порядка пространственная кривая линия

Алгоритм решения задач 1. Анализ заданных поверхностей - Определить заданные поверхности - Определить наличие проецирующей поверхности (цилиндр и призма) На плоскости проекций, к которой проецирующая поверхность перпендикулярна, проекция линии пересечения совпадает с очерком проецирующей поверхности

2. Определить характерные точки линии пересечения - точки пересечения очерков поверхностей - высшие и низшие, правые и левые точки поверхностей - наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций точки - точки принадлежащие очерковым линиям поверхностей ВЫБОР СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: - вспомогательные секущие плоскости - вспомогательные секущие концентрические сферы

Способ вспомогательных секущих плоскостей 1. Провести вспомогательную секущую плоскость частного положения. В сечении поверхностей должны получаться простые геометрические фигуры – окружности, треугольники, прямоугольники. 2. Построить сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей плоскостью. 3. Определить точки пересечения построенных сечений. Это искомые точки линии пересечения поверхностей. Повторение пунктов 1, 2, 3 – n раз

4. Соединить линией, полученные точки пересечения. 5. Определить видимость линии пересечения и очерковых линий заданных поверхностей.

Задача. Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

22 32 62 72 12 42 52 02 Rc 51 41 п 1 Rc п 1 01 21 31 71 61 11 bп 1

Построить линию пересечения поверхностей Полусфера диаметром 90 мм Цилиндр диаметром 50 мм

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

• ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП СФЕРА С ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ, ОСИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР СФЕРЫ, ПЕРЕСЕКАЕТСЯ ПО ОКРУЖНОСТЯМ, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР 1. ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 2. ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ 3. ПОВЕРХНОСТИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ

Построить линию пересечения поверхностей Минимальная сфера вписана в большую поверхность R min 12 R min 32 А 2 Rm ax 22

42

52

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

• ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПИСАННЫЕ ИЛИ ВПИСАННЫЕ В ДРУГУЮ ПОВЕРХНОСТЬ 2 - го ПОРЯДКА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ДВУМ КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ, СОЕДИНЯЮЩУЮ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ КАСАНИЯ

Сфера диаметром 40 мм

Цилиндр диаметром 40 мм Длина 80 мм

Конус диаметром 80 мм Высота 70 мм 32 40 12 С 2 О 2 42 22

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ – ЭТО ПЛОСКАЯ ФИГУРА, КОТОРАЯ ПОЛУЧАЕТСЯ СОВМЕЩЕНИЕМ ВСЕЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЕКТА С ПЛОСКОСТЬЮ

РАЗВЕРТКИ Точные Приближен ные Условные

1. ТОЧНЫЕ – ПОСТРОЕННЫЕ ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ – ВЫПОЛНЕННЫЕ СПОСОБОМ АППРОКСИМАЦИИ РАЗВЕРТКИ РАЗВЕРТЫВАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (ЦИЛИНДРЫ, КОНУСЫ) 3. УСЛОВНЫЕ – РАЗВЕРТКИ НЕРАЗВЕРТЫВАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СФЕРА, ТОР)

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ АППРОКСИМАЦИЯ – ЗАМЕНА СЛОЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТОЙ, ВПИСАННОЙ ИЛИ ОПИСАННОЙ МНОГОГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 1. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 2. СПОСОБ РАСКАТКИ 3. СПОСОБ ТРИАНГУЛЯЦИИ

АППРОКСИМАЦИЯ В КРУГОВОЕ ОСНОВАНИЕ ВПИСЫВАЮТ ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК, ЧЕРЕЗ ВЕРШИНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРОВОДЯТ РЕБРА ПРИЗМЫ ИЛИ ПИРАМИДЫ

Способ нормального сечения Нормальное сечение - это сечение поверхности плоскостью перпендикулярной оси вращения или высоте поверхности

Развертка конуса графоаналитический способ

S 2 Развертка конуса прямого кругового Конус: Диаметр 40 мм Высота 60 мм S 1

s 2 72 12 22 32 42 52 62 s 1 11 21 31 41 71 51 61

s 2 K 2 F 2 2 E 2 А 2 в С 2 С A K 1 D E F 4 12 2 12 s 1 71 11 В 1 31 В 3 D 2 72 21 s A 1 61 41 51 5 6 11 7 8 9 10

H H Развертка цилиндра прямого кругового L= 2 p. R =p. D D

11 1 71 11 61 21 31 41 51 21 1 31 1 41 1 51 1 Цилиндр: Диаметр 40 мм Высота 50 мм 1 61 1 71

Способ триангуляции Конус с недоступной вершиной

22 42 62 82 2 12 32 52 21 41 31 61 8 1 51 4 8 72 7 1 11 6 71 3 5

Развертка конуса с не доступной вершиной

Дополнительный материал

Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 30 Задача.

Цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью, так как все его образующие фронтально проецирующие прямые. Линия пересечения заданных поверхностей на фронтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра

Характерные точки - точки пересечения очерков точки 1 и 2

Характерные точки - низшие точки очерка цилиндра 9 и 10 92Ξ 102 91 101

R 5 • Характерные точки - крайняя левая точка очерка цилиндра 5 6

R 3 b п 2 Промежуточные точки - 3 и 4 4 3

Промежуточные точки - 7 и 8 R 7 72 Ξ 8 2 81 71 п 2

Развертка переходника

Развертка конуса с одной плоскостью симметрии

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ эллипс Rк Rк 42 αп 2 1 12 2 22 22 32 2 3 3 31 1 41 12 11 2121 31 3111 4 11

22 1 21 3 21 4 21 2 21 42 12 32 31 41 11 3 21 3 11 4 1 2 31 41

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ сечение цилиндра 52 42 32 эллипс 12 22 5 21 bп 2 41 31 21 51 4 11 2 11 3 11 1 4 12 3 12 2 2 3 1 21 bп 21 2 5 1 41 31 21

СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ 52 gп 2 12 bп 2 42 22 αп 2 32 31 41 51 11 21 3 11 4 1 5 11 1

Построить линию пересечения поверхностей

12 22 В 2 С 2 А 2 О 2