УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ — УПИ ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА

Компьютерное моделирование процессов массопереноса в реакторных материалах ЛЕКЦИЯ 2 «Основные математические операции в компьютерном моделировании (КМ) и вычислительных методах физики (ВМФ)» Лектор: Купряжкин Анатолий Яковлевич Авторы курса: А. Я. Купряжкин, К. А. Некрасов

Цель лекции: o Знакомство с методами численного дифференцирования, интегрирования, нахождения корней уравнения. 3

ПЛАН ЛЕКЦИИ: o Основные математические операции в КМ и ВМФ: o o o Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Нахождение корней уравнения: o o o Метод шагового поиска. Метод Ньютона – Рафсона. Метод секущих 4

Численное дифференцирование Задача ЧД формулируется следующим образом: рассчитать приближенное значение , используя известные значения (см. рис. ). 5

Численное дифференцирование Разложим функцию f (x) в ряд Тейлора вблизи x=0 Тогда 6

Численное дифференцирование Будем считать, что функция f и все ее производные являются величинами одного порядка. Вычитая из , получим В этом соотношении первый член дает конечно-разностную аппроксимацию искомой производной. Пренебрегая вторым и последним членами, получим приближенную формулу, называемую 7 « 3 -х точечной» формулой

Численное дифференцирование Это выражение дает точное значение производной в случае, когда f на интервале [-h; h] является полиномом второй степени, то есть все производные высших степеней равны нулю. Последняя формула дает более точное значение производной, чем формулы, использующие обычное приближение Эйлера, в основе которых лежит предположение о линейной аппроксимации функции на интервале между x=0 и . 8

Численное интегрирование Для вычисления значения определенного интеграла на отрезке от a до b (см. рис. ЧД ) определяют равномерную сетку с шагом h, так чтобы было целым четным числом. Получив формулу вычисления интеграла на интервале длиной 2 h в пределах от –h до +h, можно использовать ее для вычисления определенного интеграла на всем отрезке от а до b 9

Численное интегрирование • Основная идея методов численного интегрирования заключается в приближенной замене функции f между –h и +h некоторой другой функцией, которая может быть точно проинтегрирована на этом отрезке. 10

Простейшее приближение (выполнить самостоятельно) Заключается в разбиении отрезка [– h; h] на два участка [–h; 0] и [0; h] и принятии для этих участков линейной аппроксимации. В этом случае мы получим формулу метода трапеций. 11

Более точное приближение можно получить, если использовать разложение f в ряд Тейлора и подставить выражение для первой и второй производных (выполнить самостоятельно) 12

Формула Симпсона • Последнее выражение называется формулой СИМПСОНА. Ее точность на два порядка выше точности формулы трапеций. Кроме того, ошибка интегрирования по формуле Симпсона меньше той, которую следовало бы ожидать от разложения Тейлора. • Формулы более высокого порядка можно получать, оставляя больше членов в разложении f, используемом для интерполяции f между узлами сетки. • Поскольку в квадратурные формулы при ЧИ все значения f входят с одинаковым знаком, в отличие от численного дифференцирования численное интегрирование устойчиво, результат стремится к определенному пределу по мере роста N и уменьшения шага сетки h. 13

Анализ особенностей исходного интеграла в методах ЧИ: o o o Верхний предел интегрирования очень большой. Подынтегральные функции имеют интегрируемые расходимости. Учет наличия у функции интегрируемой особенности. 14

Верхний предел интегрирования очень большой. o o Рассмотрим интеграл , в котором с ростом x функция стремится к константе. Для случая когда вычисление интеграла по формуле Симпсона дает очень медленную сходимость. Если сделать замену переменной , интеграл принимает вид и легко вычисляется. 15

Подынтегральные функции имеют интегрируемые расходимости. o В интеграле имеется особенность в точке x=1 (g – непрерывная функция). Правильный результат можно получить после замены переменной. Тогда 16

Учет наличия у функции интегрируемой особенности. o o Если такая особенность имеется вблизи одной из границ интервала (например, 0), то вычисляемый интеграл целесообразно разбить на две части Пусть f (x) спадает вблизи нуля как (c– константа), на интервале от h до 1 расходимостей не имеет. Тогда интеграл на этом отрезке может быть легко вычислен, а вклад интеграла от 0 до h приближенно можно учесть членом 17.

Нахождение корней уравнения Метод шагового поиска • Метод шагового поиска является одним из возможных способов нахождения корня уравнения f (x)=0 , когда его величина приблизительно известна . Алгоритм поиска заключается в следующем. 18

Метод шагового поиска Алгоритм поиска • Выбирается начальное пробное значение x, меньшее корня. Затем, увеличивая это значение, необходимо провести расчеты f (x), проверяя каждый раз значение f (x) в новой точке. Когда f (x) меняет знак, происходит возврат назад на один шаг, после чего величина шага уменьшается в два раза, и процесс повторяется. Когда длина шага становится меньше погрешности, с которой необходимо определить положение корня, вычисления прекращаются. Число итераций, необходимых для нахождения корня, определяется задаваемой погрешностью. • Если исходный шаг выбран слишком большим, можно пропустить исходный корень. 19

Нахождение корней уравнения Метод Ньютона – Рафсона • Метод может быть реализован в случае, когда для произвольной точки x возможно вычисление как функции f (x) , так и ее производной, и можно предположить, что вблизи корня функция f (x) ведет себя как линейная. 20

Последовательность может быть рассчитана, исходя из определения производной в точке (см. рис. ). 21

Вывод по методу Ньютона – Рафсона o Основным неудобством в методе является необходимость вычисления производной Этого неудобства можно избежать в методе секущих. . 22

Нахождение корней уравнения Метод секущих заключается в замене производной, рассчитываемой по формуле метода Ньютона – Рафсона выражением В результате последовательность может быть рассчитана по формуле (см. рис. ). 23

Выводы по методу секущих o o Если исходные точки выбраны достаточно близко к искомому корню, то скорость сходимости метода секущих приближается к скорости метода Ньютона – Рафсона. Если вблизи значения функция имеет точку перегиба или несколько близких корней, сходимость в указанных методах может отсутствовать. Более надежная процедура заключается в том, что вначале используется алгоритм шагового нахождения для приближенного определения и лишь затем переходят к одному из «автоматических» алгоритмов (Ньютона – Рафсона или секущих). 24

Основные выводы по лекции o o Таким образом изложенные численные методы позволяют с заданной точностью численное дифференцирование, интегрирование и нахождение корней уравнений f (x)=0. Необходимым условием получения правильного результата является анализ особенностей поставленных задач и выбор соответствующего численного метода. 25

Список литературы к лекции 2 • • Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике / Х. Гулд, Я. Тобочник. ч. 1, М. : Мир, 1990. 349 с. Кунин С. Е. Вычислительная физика / С. Е. Кунин М. : Мир, 1992. 518 с. 26

Спасибо за внимание! 27

Вопросы? 28