Управление инвестиционным портфелем Портфели и их оценки 1

Управление инвестиционным портфелем Портфели и их оценки 1

Базовая модель Доходность R актива - это случайная величина принимающая n возможных значений: r 1, r 2, …. rn с вероятностями: p 1, p 2, …. pn При условии, что: 0 pk 1, k = 1, 2, …, n p 1 + p 2+ … + p n = 1 2

Характеристики актива Ожидаемая доходность m. A актива А: Вариация (дисперсия) доходности актива А: Стандартное отклонение: 3

Базовая модель Рассмотрим рынок из активов А 1, А 2, …. Аn с ожидаемыми доходностями mk= E[Rk], k = 1, 2, …, n ковариациями cij = sij =cov(Ri, Rj), 4 i, j = 1, 2, …, n

Базовая модель Параметры рынка. Вектор ожидаемых доходностей m = (m 1, m 2, …. , mn) и матрица ковариаций 5 s 11 C =. . . sn 1 …. . . … s 1 n. . . snn

Базовая модель Рассмотрим портфель p из активов А 1, А 2, …. Аn с весами w 1, w 2, …. , wn где wk – вес k-го актива в портфеле p Таким образом портфель p описывается вектором весов w = (w 1, w 2, …. , wn) 6

Определение ожидаемой доходности портфеля n Rp = S w j mj j=1 Rp – ожидаемая доходность портфеля p, Wj – вес j – го актива в портфеле, mj – ожидаемая доходность j – го актива, n – общее количество активов в портфеле. 7

Определение стандартного отклонения портфеля sp = m m S S wj wk sjk j=1 k=1 wj - вес j – го актива в портфеле, wk - вес k – го актива в портфеле, sjk - ковариация доходностей j – го и k – го активов в портфеле. 8

Ковариация s jk = sj sk r jk sj - стандартное отклонение j – го актива в портфеле, sk- стандартное отклонение k– го актива в портфеле, rjk - коэффициент корреляции 9 доходностей j – го и k – го активов в портфеле.

Коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости двух случайных величин. Коэффициент корреляции принимает значения от -1. 0 (совершенная отрицательная корреляция) до +1. 0 (совершенная положительная корреляция). Если коэффициент корреляции равен 0, то случайные величины называются некоррелированными. 10

Рынок и 2 -х активов Рассмотрим рынок из 2 - х активов А 1, А 2 с ожидаемыми доходностями m 1 , m 2 и ковариациями s 11= s 12, s 22 = s 22, s 12 = r 12 s 1 s 2 11

Рынок и 2 -х активов Тогда портфель p из активов А 1, А 2 с весами w 1, w 2 имеет ожидаемую доходность E[Rp] = E(w)= (m, w) = m 1 w 1+ m 2 w 2 и риск (вариацию) Var[Rp] = V(w) = s 11 w 12 + s 22 w 22 + 2 s 12 w 1 w 2 = (s 1 w 1)2 + (s 2 w 2)2 + 2 r 12(s 1 w 1)(s 2 w 2) 12

Пример Предположим, что портфель состоит из акций BW и акций D В акции BW инвестировано $2 000, а в акции D - $3 000. Ожидаемая 000 доходность и стандартное отклонение акции BW составляют 9% и 13, 15% соответственно Ожидаемая доходность и стандартное отклонение акции D 8% и 10, 65% соответственно. Коэффициент корреляции доходностей акций BW и D равен 0, 75. 75 Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля. 13

Нахождение ожидаемой доходности портфеля w. BW = $2, 000 / $5, 000 = 0, 4 WD = $3, 000 / $5, 000 = 0, 6 rp = (w. BW)(m. BW) + (w. D)(m. D) rp = (0, 4)(9%) + (0, 6)(8%) , 6 8% rp = (3, 6%) + (4, 8%) = 8, 4% 4, 8% 14

Определение стандартного отклонения портфеля Портфель из двух активов: Столбец 1 Строка 1 w. BW s. BW, BW Строка 2 w. D w. BW s. D, BW Столбец 2 w. BW w. D s. BW, D w. D s. D, D Эта ковариационная матрица портфеля, состоящего из двух активов. 15

Нахождение стандартного отклонения портфеля Портфель из двух активов: Столб. 1 Столб. 2 Стрк. 1 (0, 4)(0, 0173) (0, 4)(0, 6)(0, 0105) Стрк. 2 (0, 6)(0, 4)(0, 0105) (0, 6)(0, 0113) Подставили значения в ковариационную матицу. 16

Нахождение стандартного отклонения портфеля Портфель из двух активов: Столбец1 Столбец 2 Строка 1 (0, 0028) (0, 0025) Строка 2 (0, 0025) (0, 0041) Вычислили элементы ковариационной матрицы. 17

Нахождение стандартного отклонения портфеля sp = 0. 0028 + (2)(0. 0025) + 0. 0041 s. P = 0. 0119 sp = 0. 1091 или 10. 91% Нахождение стандартного отклонения портфеля как взвешенного среднего было бы НЕВЕРНО. 18

Нахождение стандартного отклонения портфеля как взвешенного среднего НЕВЕРНО: s. P = 0. 4 (13. 15%) + 0. 6(10. 65%) s. P = 5. 26 + 6. 39 = 11. 65% 10. 91% = 11. 65% 19 Эти вычисления НЕВЕРНЫ.

Результаты вычисления доходности и риска портфеля Акция C Акция D Портфель Доходность 9. 00% 8. 64% Станд. откл. 13. 15% Коэфф. вар. 1. 46 10. 65% 1. 33 10. 91% 1. 26 Благодаря диверсификации портфель имеет наименьший коэффициент вариации. 20

Рынок и 3 -х активов Рассмотрим рынок из 3 - х активов А 1, А 2, А 3 с ожидаемыми доходностями m 1 , m 3 и ковариациями s 11= s 12, s 22 = s 22, s 33 = s 32 s 12 = r 12 s 1 s 2, s 13 = r 13 s 1 s 3, s 23 = r 23 s 2 s 3 21

Рынок и 2 -х активов Тогда портфель p из активов А 1, А 2, А 3 с весами w 1, w 2, w 3 имеет ожидаемую доходность E[Rp] = E(w)= (m, w) = m 1 w 1+ m 2 w 2+ m 3 w 3 и риск (вариацию) Var[Rp] = V(w) = s 11 w 12 + s 22 w 22 + s 33 w 32 + + 2 s 12 w 1 w 2 + 2 s 13 w 1 w 3 + 2 s 23 w 2 w 3 22

Формирование оптимального портфеля Два критерия: 1) ожидаемая доходность E(p) 2) риск s(p) Основная цель Формирование портфеля с наибольшей доходностью (E(p) max) и наименьшим риском (s(p) min) 24

Формирование оптимального портфеля В общем случае задача одновременной оптимизации двух критериев невозможна! 25

Формирование оптимального портфеля Три постановки задачи оптимизации портфеля 1) Минимизация риска s(p) для заданной требуемой доходности E 0 2) Максимизация ожидаемой доходности E(p) для заданного максимального допустимого риска s 0 3) Оптимизация соотношения между доходностью и риском 26

Формирование оптимального портфеля 1) Минимизация риска s(p) для заданной требуемой доходности E 0 Среди всех допустимых портфелей доходность которых не меньше требуемой найти портфель с минимальным риском V(p)=(Cx, x) min; E(p)=E(x)=(m, x) E 0 (e, x) = x 1+ x 2+…+ xn =1; x D 27

Формирование оптимального портфеля 2) Максимизация доходности E(p) для заданного максимального допустимого риска V 0 Среди всех допустимых портфелей риск которых не больше заданного найти портфель с максимальной доходностью E(p)=E(x)=(m, x) max; V(p)=(Cx, x) V 0 (e, x) = x 1+ x 2+…+ xn = 1; x D 28

Формирование оптимального портфеля 3) Оптимизация соотношения между доходностью и риском определяется коэффициентом неприятия риска Коэффициент неприятия риска определяет полезность (по Марковицу) портфеля p: U(p) = E(p) – (1/2) Var(p) Функция U(E, V) - называется функцией полезности Марковица 29

Функция полезности U=U(E, V) Задает инвестиционный критерий полезность портфеля : U(p) = E[p] – ( /2)Var[p] u u Убывает по вариации Var[p] u 30 Возрастает по доходности E[p] Убывает по - коэффициенту неприятия риска

Пример Рассмотрим портфель p доходность Rp которого принимает два возможных значения: r 1 = 0, 25 и r 2 = - 0, 05 с вероятностями p 1 = 0, 6 и p 2 = 0, 4 соответственно 1) Найти E[R] 2) Найти Var[R] 3) Если для инвестора нет разницы между этим портфелем и безрисковым портфелем с rf=0, 07, определить (не измерять в процентах% !!) 31

Пример E[R] = 0, 6 0, 25 + 0, 4 (-0, 05) = 0, 13 E[R 2] = 0, 6 (0, 25)2 + 0, 4 (-0, 05)2 = 0, 0385 Var[R] = 0, 0385 - (0, 13)2 = 0, 0216 Полезность портфеля U(p) = 0, 13 - 0, 0216 Полезность безрискового портфеля U(pf) = 0, 07 - 0 = 0, 07 Если выбор безразличен то: 0, 13 – 0, 0216 = 0, 07 т. е. = 2, 778 32

Формирование оптимального портфеля 3) Оптимизация соотношения между доходностью и риском определяется Среди всех допустимых портфелей найти портфель p с максимальной полезностью: U(x) = E(x) - ( /2)V(x) max (e, x) = x 1+ x 2+…+ xn =1; x D 33

Формирование оптимального портфеля Два класса допустимых портфелей: 1) портфели Блека – портфели с любыми позициями как длинными так и короткими 2) портфели Марковица – портфели без коротких позиций (все веса неотрицательны!) 34