Управление инвестиционным портфелем Геометрия портфелей 1
Общая модель Рынок активов А 1, А 2, …. Аn Параметры рынка (m, C) m - вектор ожидаемых доходностей C - матрица ковариаций Класс допустимых портфелей D = {x Rn ; (e, x)=1; D(x)} 2
Геометрия портфелей Пространство портфелей хn х х2 D 3 х1 х1+ х2+ …+ хn = 1
Критериальное множество – совокупность оценок всех допустимых портфелей на критериальной плоскости (плоскости оценок) 4
Геометрия оценок Критериальное множество Q(x) = (E(x), V(x)) V Q(D) E 5
Модель Блека Рынок активов А 1, А 2, …. Аn Параметры рынка (m, C) m - вектор ожидаемых доходностей C - матрица ковариаций Класс допустимых портфелей Pn = {x Rn ; (e, x)=1)} 6
Модель Блека Пространство портфелей хn 7 х1 х х2 х1+ х2+ …+ хn = 1
Модель Блека Критериальное множество V Q(x) = (E(x), V(x)) Q(D) E 8
Двумерная модель Блека Рынок активов: А 1, А 2 Параметры рынка (m, C) m = (m 1, m 2) - вектор ожидаемых доходностей C - матрица ковариаций c элементами s 11= s 12, s 22 = s 22, s 12 = r 12 s 1 s 2 Класс допустимых портфелей p 2 = {x=(x 1, x 2); x 1, x 2 R; 9 x 1+ x 2 =1}
Двумерная модель Блека Прямая портфелей х2 х = (х1, х2) х1 10
Двумерная модель Блека Критериальная плоскость V Q(x) = (E(x), V(x)) – оценка портфеля x E 11
Модель Блека. Пример Рынок активов: А 1, А 2 Доходности активов: m 1= 3; m 2 = 4; Риск активов: s 1= 6, s 2 = 8, r 12= -0, 5; c 11= 36; c 22 = 64; c 12= -24 Портфели: P 1 = (-1, 5; 2), P 2 = (2; -1); 12
Модель Блека. Пример 1 Оценки портфелей Портфель Р 1 E(Р 1) = -1, 5 3 + 2, 5 4 = 5, 50; V(Р 1)= 36 (-1, 5)2 + 64 2, 52 + 2 24 (-1. 5) 2, 5 = 661 s(Р 1)= 661 =25, 71 Портфель Р 2 E(Р 2) = 2 3 + -1 4 = 6; V(Р 1)= 36 22 + 64 (-1)2 + 2 24 2 (-1) = 304 s(Р 2)= 304=17, 44 13
Модель Блека. Пример 1 14
Критериальное множество В двумерном случае критериальное множество в модели Блека – парабола с уравнением V(E) = 2 E 2 + 1 E + 0 = =(A∙E 2+ B∙E + F)/(m 1 - m 2)2 = A = c 11 - 2 c 12 + c 22; B = -2 c 11 m 2 + 2 c 12(m 1 + m 2) – 2 m 1 c 22; F = c 11 m 22 - 2 c 12 m 1 m 2 + c 22 m 12. 15
Критериальное множество. Пример 2 Рынок активов: А 1, А 2 Доходности активов: m 1= 1; m 2 = 2; Риск активов: c 11= 2; c 22 = 3; c 12= 0 m = (1; 2), 16 C=
Критериальное множество. Пример 2 x 1 + x 2 = 1; E = 1 x 1+ 2 x 2 ; V = 2 x 12 + 3 x 22 x 2 = 1 - x 1; E = 1 x 1+ 2(1 -x 1) = 2 - x 1; x 1 = 2 - E; x 2 = 1 - x 1 = E - 1; V = 2 x 12 + 3 x 22 = 2(2 - E)2 + 3(E - 1)2 V = 5 E 2 -14 E + 11 17
Критериальное множество. Пример 2 Критериальное множество на плоскости (E, V) – парабола с уравнением V = 5 E 2 - 14 E + 11 18
Критериальное множество. Пример 2 Критериальное множество на плоскости (E, s) – гипербола с уравнением s 2 = 5 E 2 - 14 E + 11 19
Портфель с минимальным риском x 1 + x 2 = 1; x 2 = 1 - x 1 V = c 11 x 12 + c 22 x 22 + 2 c 12 x 1 x 2 = = c 11 x 12 + c 22(1 -x 1)2 + 2 c 12 x 1(1 -x 1) = = (c 11+ c 22 - 2 c 12)x 12 + 2(c 12 - c 22)x 1 + c 22 V(x 1) = (c 11+ c 22 - 2 c 12)x 12 + 2(c 12 - c 22)x 1 + c 22 V’(x 1)= 2(c 11+ c 22 - 2 c 12)x 1 + 2(c 12 - c 22) = 0 20
Портфель с минимальным риском x 1* = (c 22 – c 12)/(c 11+ c 22 - 2 c 12) x 2 * = (c 11 – c 12)/(c 11+ c 22 - 2 c 12) х* = (x 1* , x 2*) – портфель с наименьшим риском 21
Двумерная модель Марковица Рынок активов: А 1, А 2 Параметры рынка (m, C) m = (m 1, m 2) - вектор ожидаемых доходностей C - матрица ковариаций c элементами s 11= s 12, s 22 = s 22, s 12 = r 12 s 1 s 2 Класс допустимых портфелей D 2 = {x=(x 1, x 2) R 2; x 1, x 2 0 ; x 1+ x 2 =1} 22
Двумерная модель Марковица Допустимое множество портфелей - отрезок х2 А 1 х = (х1, х2) А 1 23 х1
Критериальное множество В двумерном случае критериальное множество в модели Марковица – отрезок параболы Блека с уравнением V(E) = 2 E 2 + 1 E + 0 m 1 E m 2 24
Критериальное множество. Пример 3 Рынок активов: А 1, А 2 Доходности активов: m 1= 1; m 2 = 2; Риск активов: c 11= 2; c 22 = 3; c 12= 0 m = (1; 2), 25 C=
Критериальное множество. Пример 3 Критериальное множество на плоскости (E, V) отрезок параболы с уравнением V = 5 E 2 - 14 E + 11, 1 E 2 26
Модель Марковица. Пример 4 Рынок активов: А 1, А 2 Доходности активов: m 1= 8%; m 2 = 13%; Риск активов: s 1= 12%; s 2 = 20%; r = -1; r = 0; r = 0, 3 27
Критериальные множества в модели Марковица E 13% r = -1 r=0 8% 28 r = -1 r = 0, 3 r=1 12% 20% s
Критериальное множество. Пример 5 Рынок активов А и В. Параметры рынка и веса портфеля p приведены в таблице A B E 12% 20% s r. AB 30% 40% 0, 3 p 0, 4 0, 6 Оценка портфеля: E(p) = 0, 6 12% + 0, 4 20% = 16, 80% s(p) = (0, 4 0, 3)2+(0, 6 0, 4)2+2(0, 3 0, 4 0, 3 0, 6 0, 4)2 = 23, 39% 29
Критериальное множество. Пример 5 При изменении весов ценных бумаг в портфеле меняется доходность и риск самого портфеля Эффективная граница 30
Оптимальные портфели в модели Блека Минимизация риска s(p) для заданной требуемой доходности E 0 Если требуемая доходность меньше доходности E* минимального портфеля E 0 E* то оптимальным будет минимальный портфель p* 31
Оптимальные портфели в модели Блека Минимизация риска s(p) для заданной требуемой доходности E 0 В противном случае оптимальный портфель есть решение системы x 1 + x 2 = 1; m 1 x 1 + m 2 x 2 = E 0 x 1 = (E 0 - m 2)/(m 1 - m 2) x 2 = (m 1 – E 0)/(m 1 - m 2) 32
Оптимальные портфели в модели Блека Максимизация полезности U(p) x 1 + x 2 = 1; x 2 = 1 - x 1; U(x) = E(x) – ( /2)V(x) = = m 1 x 1 + m 2 x 2 – ( /2)( c 11 x 12 + c 22 x 22 + 2 c 12 x 1 x 2)= U(x 1) = m 2 + (m 1 - m 2)x 1 – - ( /2)((c 11+ c 22 - 2 c 12)x 12 + 2(c 12 - c 22)x 1 + c 22) 33
Оптимальные портфели в двумерной модели Блека Максимизация полезности U(p) U’(x 1) = (m 1 - m 2) – - ((c 11+ c 22 - 2 c 12)x 1+ (c 12 - c 22) = 0 x 1= [ (c 22 – c 12) + (m 1 – m 2)]/[ (c 11+ c 22 - 2 c 12)] x 2= [ (c 11 – c 12) + (m 2 – m 1)]/[ (c 11+ c 22 - 2 c 12)] 34
Оптимальные портфели в модели Марковица u u 35 Если оптимальный портфель Блека имеет неотрицательные компоненты, то он является и оптимальным в модели Марковица. В противном случае оптимальным портфелем является один из активов
Трехмерная модель Блека Рассмотрим рынок из 3 - х активов А 1, А 2, А 3 с ожидаемыми доходностями m 1 , m 3 и ковариациями с11= s 12, с22 = s 22, с33 = s 32 с12 = r 12 s 1 s 2, с13 = r 13 s 1 s 3, с23 = r 23 s 2 s 3 36
Трехмерная модель Блека Тогда портфель p с весами х1, х2, х3 ; х1+ х2 + х3 =1 имеет ожидаемую доходность E(х)= (m, х) = m 1 х1+ m 2 х2+ m 3 х3 и риск (вариацию) V(х) = с11 х12 + с22 х22 + с33 х32 + + 2 с12 х1 х2 + 2 с13 х1 х3 + 2 с23 х2 х3 37
Трехмерная модель Блека Из х1+ х2 + х3 = 1 Получаем х3 =1 - х1 - х2 E(х) = (m, х) = m 1 х1+ m 2 х2+ m 3(1 - х2 ) V(х1, х2 ) = с11 х12 + с22 х22 + с33 (1 - х1 -х2 )2 + + 2 с12 х1 х2 + 2 с13 х1(1 - х2 ) + + 2 с23 х2(1 - х2 ) 38
Трехмерная модель Блека 39
Трехмерная модель Блека 40
Трехмерная модель Блека Нахождение портфеля с наименьшим риском в 3 -х мерной модели Блека V’х1(х1, х2 ) = 2 с11 х1 - 2 с33 (1 - х1 -х2 ) + 2 с12 х2 + + 2 с13(1 - х2 ) - 2 с13 х1 - 2 с23 х2 = 0 V’х2(х1, х2 ) = 2 с22 х1 - 2 с33 (1 - х1 -х2 ) + 2 с12 х1 + - 2 с13 х1 + 2 с23(1 - х2 ) - 2 с23 х2 = 0 41
Трехмерная модель Блека Нахождение портфеля с наименьшим риском в 3 -х мерной модели Блека V’х1(х1, х2 ) = 2 с11 х1 - 2 с33 (1 - х1 -х2 ) + 2 с12 х2 + + 2 с13(1 - х2 ) - 2 с13 х1 - 2 с23 х2 = 0 V’х2(х1, х2 ) = 2 с22 х1 - 2 с33 (1 - х1 -х2 ) + 2 с12 х1 + - 2 с13 х1 + 2 с23(1 - х2 ) - 2 с23 х2 = 0 42
Эффективный портфель u Определение: портфель, который обеспечивает наибольшую доходность для заданного уровня риска. u Комбинации весов различных акций, которые обеспечивают наибольшую доходность для заданного уровня риска, являются оптимальными весами. Портфель, сформированный из акций с такими оптимальными весами, называется эффективным. 43
Скачать презентацию Управление инвестиционным портфелем Геометрия портфелей 1 Общая
4.3.Геометрия порфелей.ppt