Упорядочение Порядковые числа Упорядочение Наименьшее

Упорядочение. Порядковые числа

Упорядочение •

Наименьшее число •

Сечение. Классы. •

Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа. Линейное упорядоченное множество Х называется вполне упорядоченным, если любое непустое подмножество в Х имеет первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми числами. Например (0, 1, 2…n…) ω – есть порядковое число множества всех неотрицательных целых чисел в их естественном порядке.

Аксиома выбора. •

Теорема Цермелло На каждом множестве Х существует отношение <, которое вполне упорядочивает Х. Теорема Цермелло является следствием аксиомы выбора.

Математики об аксиоме выбора Аксиома выбора принимается не всеми математиками безоговорочно: некоторые относятся к ней с недоверием. Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Основано оно, прежде всего, на том, что утверждается лишь существование множества , но не дается никакого способа его определения – отсюда неэффективность в случае бесконечных множеств. Это мнение, например, Бореля и Лебега. Противоположного мнения придерживались, например, Хаусдорф и Френкель, которые принимали аксиому выбора без всяких оговорок, признавая за ней ту же степень «очевидности» , что и за другими аксиомами теории множеств: аксиома объемности, аксиома существования пустого множества, аксиома пары, аксиома суммы, аксиома степени, аксиома бесконечности. Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно специфичных: например, появляется возможность доказать парадокс Банаха—Тарского, который вряд ли можно считать «очевидным» . Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому выбора, провел Серпинский. Однако, без сомнения, многие важные математические открытия нельзя было бы сделать без аксиомы выбора.

Лемма Тейхмюллера - Тьюки •

Лемма Куратовского - Цорна •

Следствие Все 4 утверждения: Аксиома выбора, Теорема Цермелло, Лемма Тейхмюллера – Тьюки, Лемма Куратовского – Цорна равносильны.

Список используемой литературы Р. Энгелькинг «Общая топология» К. Куратовский «Топология»

Выполнил: студент группы ЭМА – 12 Макушевский Денис