UNIVERZITET U PRIŠTINI Kosovska Mitrovica FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA

UNIVERZITET U PRIŠTINI Kosovska Mitrovica FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA PRIMENA FD-TD METODE U FOTONICI M. I. BEJTOVIĆ, D. Ž. DJURDJEVIĆ RADIONICA FOTONIKE-4 – KOPAONIK, SRBIJA, 2 -6 MART 2011 1

PREGLED PREZENTACIJE ftnkm ØUvod ØFD-TD Metoda ØCiljevi istraživanja ØRezultati ØZaključak: C &D FD-TD metode primena FD-TD metode u fotonici 2

UVOD ftnkm q ISTORIJSKI RAZVOJ FD-TD METODE 1966 : Kane Yee – Algoritam [K. S. Yee, IEEE Trans. Ant. and Prop. , 14 (1996): 302 -307. ] 1975: Allen Taflove – Primena Yee – algoritma za rešavanje elektromagnetnih problema [A. Taflove, Computational Electrodynamics, Actech House Boston, (1995)] 1980: Allen Taflove prvi put koristi naziv: “Finite Difference – time domain” – FDTD ili FD-TD [A. Taflove, IEEE Trans. on Electr. Comp. , 22 (1980): 191 -202] [ primena FD-TD metode u fotonici 3

ftnkm 1990+: Masovna i široka primena FD-TD metode 1994: J. Berenger – “Berenger PML” - ABC [J. Berenger, J. of Comp. Phys. , 114(1994), 185 -200. ] 2001: F. Zhen et. al – Implicitni bezuslovno stabilan FD-TD ADI algoritam [F. Zhen, Z. Chen, and J. Zhang, Micr. Th. and Techn. , 48(2000): 1550 -1558] 1550 -1558 primena FD-TD metode u fotonici 4

PRIMENE FD-TD METODE: ftnkm Antene / Radarski sistemi Mikrotalasna kola i vodovi Modelovanje EMI/EMC aplikacija EM apsorpcija u ljudskim tkivima Fotonika, nanofotonika, biofotonika primena FD-TD metode u fotonici 5

FD-TD METODA EM/EMI/EMC/Fotonika: frekvencijskom području Imperativ analize ftnkm u što širem Posebno povoljna za analizu problema kod kojih rezonantne frekvencije nisu unapred poznate ili je potreban rezultat odziva u što širem opsegu frekvencija Numerička simulacija prostiranja EM polja u lineranim i nelinernim dielektricima i magnetskim sredinama – od MHz do THz frekvencija Jednostavna za razumevanje, kodiranje i primenu Vremenski monitoring simulacije prostiranja EM polja primena FD-TD metode u fotonici 6

FD-TD METODA ftnkm Direktno numeričko rešavanje rotorskih Maksvelovih jednačina Korišćenje metode konačnih razlika (Finite Difference) u vremenskom (Time Domain) i prostornom domenu Električno polje (E) i magnetsko polje (H) računaju se u svakoj tački prostornog domena simulacije Eksplicitni i implicitni (u vremenu) FD-TD algoritmi Izbegavanje složenih matematičkih formulacija: integralnih jednačina, proračuna Grinovih funkcija, . . . primena FD-TD metode u fotonici 7

ftnkm Maksvelove jednačine u vremenskom domenu: - Faradejev zakon - Amperov zakon -Vektor električnog polja - Vektor magnetske indukcije -Vektor električne indukcije -Vektor jačine magnetskog polja U linearnoj, izotropnoj, nedisperzivnoj sredini važi: primena FD-TD metode u fotonici 8

ftnkm Skalarni oblik u 3 D Dekartovom koordinatnom sistemu: Numeričko prostiranje po vremenu u diskretno pripremljenoj 3 D prostornoj mreži primena FD-TD metode u fotonici 9

ftnkm 2 D problemi – puno jednostavniji! 2 D: TM – mod prostiranja 2 D: TE – mod prostiranja . primena FD-TD metode u fotonici 10

ftnkm 1 D problemi – najjednostavniji i najbrži! Nažalost – retki u praksi! Primenom definicije izvoda na predhodnu jednačinu: primena FD-TD metode u fotonici 11

ftnkm VREME PROMENA Hy Ez PROSTOR Grafička prostorno-vremenska interpretacija 1 D FD-TD diskretizacije Maksvelovih jednačina primena FD-TD metode u fotonici 12

ftnkm Primena Tejlorovog reda: primena FD-TD metode u fotonici 13

ftnkm Vreme: Prostor:

ftnkm Diskretizacija u prostoru i vremenu FD diskretizacija jednačine: u tački (i, j, k) i trenutku n

Ø Yee-ov FD-TD algoritam Nz Broj ćelija u z smeru z z ftnkm y x x Ny -broj ćelija u y smeru Nx br oj će l ija u x sm er u y Prikaz proizvoljnog prostornog 3 D modela dimenzija Nx x Ny x Nz Pozicije komponenata polja u jediničnoj Yee ćeliji (Yee lattice) primena FD-TD metode u fotonici 16

Ø Leapfrog FD-TD algoritam ftnkm Pozicije komponenata E i H polja u prostoru i vremenu: primena FD-TD metode u fotonici 17

TAČNOST I STABILNOST ftnkm Tačnost: Stabilnost: 2 D : 1 D: Fizičko značenje: vremenski korak mora biti manji od vremena potrebnog da EM talas pređe iz jedne ćelije u susednu! primena FD-TD metode u fotonici 18

GRANIČNI USLOVI ftnkm Kod analiza “otvorenih” struktura (najčešći slučaj u praksi), neophodno je postaviti granične uslove (boundary conditions) Nepravilni granični uslovi – nefizička (numerička) refleksija od ivica ćelija na granicama domena izračunavanja (computational domain) Numerička refleksija bitno utiče na vrednost rezultata - u većini slučajeva potpuno neupotrebljivi rezultati! Rešenje: postavljanje takvih uslova koji apsorbuju sve EM talase na krajnjim ćelijama domena izračunavanja: tzv. “Apsorpcioni granični uslovi” (absorbing boundary condition – ABC). primena FD-TD metode u fotonici 19

ftnkm IZVAN DOMENA IZRAČUNAVANJA UNUTAR DOMENA IZRAČUNAVANJA primena FD-TD metode u fotonici 20

ftnkm Najčešće korišćeni granični uslovi : 1. Granični uslovi po Taflove-u 2. Granični uslovi po Mur-u 3. Granični uslovi po Berenger-u primena FD-TD metode u fotonici 21

Berenger-ovi granični uslovi ftnkm Moderni pristup modelovanja ABC apsorbujućih graničnih uslova Koncept poznat kao: PML (“perfectly matched layer”) Glavna ideja: refleksija TE i TM modova EM talasa od fiktivne “provodne” anizotropne sredine (NE granične površi!) primena FD-TD metode u fotonici 22

FD-TD algoritam ftnkm Definisanje prostornog i vremenskog koraka Inicijalizacija Iteracija n Računanje En iz Hn-1/2 i En-1 Računanje Hn+1/2 iz En i Hn-1/2 n=n+1 N=Nbiteracija KRAJ primena FD-TD metode u fotonici 23

CILJEVI ISTRAŽIVANJA ftnkm Nagli razvoj računarske tehnike Prihvatljiva cena povećane memorije računara Razvoj: paralelnog procesiranja, računarske vizuelizacije, . . . Posledica: implementacija FD-TD metode postaje realna opcija Naša istraživanja usmerena u pravcu izrade numeričkih simulacija prostiranja polja kroz moderne fotoničke strukture složenije geometrije (fotonski kristali, nanoplasmonici, biofotonika, solitoni, . . . ) primena FD-TD metode u fotonici 24

REZULTATI - 1 ftnkm PRIMER 1: 1 D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa Frekvencija: 1012 Hz Sredina: slobodan prostor Dužina intervala: 5 x 10 -6 m Granični uslovi: Berenger-ovi PML Korišćeni softver: Matlab© r 2009 b Rezultat simulacije: vremenska promena E i H polja primena FD-TD metode u fotonici 25

1 D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa - slobodan prostor - primena FD-TD metode u fotonici ftnkm 26

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 27

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 28

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 29

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 30

REZULTATI - 2 ftnkm PRIMER 2: 1 D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa Frekvencija: 109 Hz Sredina: tanka dielektrična ploča (dielectric slab), er=3 u slobodnom prostoru Dužina intervala: 1, 5 m Granični uslovi: Berenger-ovi PML Korišćeni softver: Matlab© r 2009 b Rezultat simulacije: vremenska promena E i H polja po slab-u primena FD-TD metode u fotonici 31

1 D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa - dielektrična ploča (slab) - primena FD-TD metode u fotonici ftnkm 32

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 33

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 34

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 35

ftnkm primena FD-TD metode u fotonici 36

ZAKLJUČAK ftnkm FD-TD metoda: Prednosti Jednostavna po svojoj koncepciji FD-TD algoritam ne zahteva formulaciju složenih integralnih jednačina FD-TD algoritam ne zahteva izvođenje Grinovih funkcija kompleksnih sredina FD-TD – primena bez komplikovane matematičke pripreme, kao kod metode momenata i metode konačnih razlika Jednostavno se primenjuje u složenim ili specijalnim nehomogenim, nelinearnim, provodnim, . . . dielektričnim ili magnetskim strukturama Zahtevi za memorijom nisu više previsoki (sa današnjim razvojem računarske tehnike) u analizi veoma kompleksnih struktura primena FD-TD metode u fotonici 37

ZAKLJUČAK ftnkm FD-TD metoda: Nedostaci Egzaktno modelovanje objekta i njegovog okruženja može znatno povećati vreme izvođenja programa Tačnost postupka je najčešće za jedan red veličine lošiji nego kod npr. metode momenata Kao i kod svih FD algoritama vrednosti polja su poznate samo u vrhovima Yee-ove ćelije Problemi kada je potrebno odrediti EM polje u dalekoj zoni (farfield computation) primena FD-TD metode u fotonici 38

ftnkm FD-TD diskretretizacija je standardno u pravouglom Dekartovom sistemu Pravougaone latice (ćelije) nisu pogodne za analizu objekata koji imaju zakrivljene površi Potreba i problem uvođenja generalizovanih oblika ćelija Model koji se analizira primena FD-TD metode u fotonici Izgled modela posle primene FD-TD metode 39

HVALA NA PAŽNJI ! primena FD-TD metode u fotonici 40