Уч-цы 9 а класса Давыдовой Катерины РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Уч-цы 9 «а» класса: Давыдовой Катерины. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.

Что такое рациональное неравенство? Рациональное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида h(x) > q(x), где h(x) и q(x)рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведение в натуральную степень. Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой.

Подробнее. С помощью правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f(x)>0 (<0), где f(x) - алгебраическая дробь(или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f(x) на множитель вида x-a (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов , который мы уже упоминали выше и подробнее покажем на ряде примеров.

Пример. Решите неравенство. (x-1)(x+1)(x-2) > 0 Решение. Рассмотрим выражение. f(x) = (x-1)(x+1)(x-2). f(x) =0 при х=1, х=-1, х=2. Точки -1; 1; 2 разбивают числовую прямую на промежутки знакопостоянства выражения f(x). 1) Возьмём любую точку х из промежутка (2; +∞). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. это значит, что х >-1, х >2. но тогда х+1 >0, х-2 >0, а значит, и f(x) >0 (как произведение двух положительных чисел). Итак, на всем промежутке (2; +∞) выполняется неравенство f(x) >0 х -1 1 2 Х

2) возьмем любую точку х из интервала (1; 2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точек -1: 1, но левее точки 2. Значит, х >1, х<2, а потому х+1 >0, х-1 >0, но х-2<0. но тогда f(x) < 0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на всем промежутке (1; 2) выполняется неравенство f(x) <0. х -1 1 Х 2

3) возьмем любую точку х из интервала (-1; 1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точек 1 и 2. значит х >-1 х<1, х<2, а потому х+1 >0, х-1 и х-2 < 0. но тогда f(x) >0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на всем промежутке (-1; 1) выполняется неравенство f(x) >0. -1 Х 1 2 х

4) возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-∞: -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точек -1; 1; 2. это значит, что х<-1; 1; 2. но тогда х+1<0, х-2<0, а значит и f(x) <0 (как произведение трёх отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-∞: -1) выполняется неравенство f(x) <0. Х -1 1 2 х

Подведём итоги. Знаки выражения f(x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рисунке. Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство f(x) >0; они заштрихованы на рисунке. Значит, неравенство f(x) >0 выполняется на интервале (-1: 1) или на открытом луче (2; +∞). + + -1 1 2 х Ответ: -1<х<1 ; х>2.