у f x k f a М а

у =f (x) k = f’(a) М (а; f(а)) у = f(x) y = kx+m

М (а; f(а)) y = kx + m f(a) = ka + m m = f(a) – ka

y = kx+m y = kx+(f(a) –ka) y = f(a)+k(x–a) y=f(a)+f'(a) (x–a) y = f(x), х=а.

у = х2, х= – 2 f(а) = f(– 2) = (– 2)2 =4 f'(a) = f´(– 2) = 2·(– 2) = – 4 f´(x) = 2 х

a = – 2, f(a) = 4, f'(a) = – 4 у = 4+(– 4)(х+2) у = – 4 х– 4

у = tg x у = 4+(– 4)(х+2) у = – 4 х– 4

а = 0, f(a) = 0, f´(a) = 1 у=х y = kx + m

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у = f(x): 1) обозначить абсциссу точки касания буквой а; 2) вычислить f (а); 3) найти f´(x) и вычислить f´(a); 4) подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулу.

Решение. a=1 у = – 1+(х– 1), у = х– 2 Ответ: y = x – 2.

Пример 2. Дана функция у = х3 + 3 х2 – 2 х – 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(х), параллельной прямой у = – 2 х + 1. Решение. f(x) = х3 + 3 х2 – 2 х – 2 kкас. = – 2; kкас. = f'(a); f ´(а) = – 2; у = f(x) : f'(x) = (х3 + 3 х2 – 2 х – 2)´ = 3 х2 + 6 х – 2; f'(а) = – 2 3 а 2 + 6 а – 2 = – 2; а 1 =0; a 2 =– 2; f'(а) = 3 а 2 + 6 а – 2;

1) а 1 = 0; а 2 = – 2. 2) f(a 1) = 03 + 3 · 02 – 2 ∙ 0 – 2 = – 2; f(a 2) = (– 2)3 + 3 · (– 2)2 – 2 · (– 2) – 2 = – 18. 3) f'(a 1) = f'(a 2) = – 2; 4) у = – 2(х – 0), у = – 2 х – 2; у = – 18 – 2(х+2), у = – 2 х – 22. Ответ: у = – 2 х – 2, у = – 2 х – 22.

Решение. 1) Пусть х = а — Ox; а >0.

Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2, 0036. Решение. у = х6; х = 2, 003;