У 703 Число гвоздик в букете Число букетов

У 703. Число гвоздик в букете Число букетов 1 2 3 4 5 6 7 8 36 18 12 9 Х 6 Х Х 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 4 Х Х 3 Х Х Х 2 ЧИСЛА 36 18 12 9 6 4 3 2 1 ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ ЧИСЛА 36 ЧИСЛО З 6 КРАТНО ЧИСЛАМ 1 2 3 4 6 9 12 18 36 1

У 707. Числа, кратные 12: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 135 150 Числа, кратные 15: 15 30 45 60 75 90 105 = НОК – Наименьшее Общее Кратное

1) Какие из следующих чисел кратны 12: 4, 6, 12, 24, 30, 48, 60, 120? Запишите еще три какие-нибудь числа, кратных 12. 2) Из данных чисел выберите те, которые кратны 15: 3, 5, 30, 50, 60, 75, 90, 120, 150. Запишите еще три какие-нибудь числа, кратных 15. 3) Из ответов к предыдущим заданиям выберите числа, которые одновременно являются кратными для чисел 12 и 15. Укажите наименьшее из них. Вычислите: а) б)

Общий знаменатель, который мы находим, складывая или вычитая дроби с разными знаменателями, является кратным каждого из знаменателей или, как говорят общим кратным знаменателей. Для того, чтобы не усложнять вычислений, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей. Наименьшее общее кратное чисел m и n принято обозначать НОК(m; n). 709. Укажите: а) НОК(8; 12); б) НОК(9; 15). 710. Вычислите:

У 720. Число наборов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Число коробок гуаши 28 14 Х 7 Х Х 4 Х Х Х 2 Число кистей 42 21 14 Х Х 7 6 Х Х Х 3 ЧИСЛА 1 2 7 14 ЯВЛЯЮТСЯ ОБЩИМИ ДЕЛИТЕЛЯМИ ЧИСЕЛ 28 И 42 НОД – Наибольший Общий Делитель

722. 1. Запишите все общие делители чисел: а) 36 и 45; б) 24 и 30, в) 50 и 75, г) 90 и 96; 2. Найдите: а) НОД( 36; 45); б) НОД(24; 30); в) НОД (50; 75), г) НОД (90; 96); 723. Сократите дроби:

725. а) Найдите НОД(221; 247); б) Сократите дробь: После этого переходим к изучению признаков делимости

18 штук 18 штук 18 штук 53 упаковки 3 продавца 125 штук 3 упаковки 25 букетов 125 штук 21 коробка Шоколадные конфеты 55 штук 77 учеников

№ 743. Верно ли, что: 1) (24 · 73) 3; 2) (25 · 58) 5; 3) (11 · 21 · 63) 77; 4) если ни один из множителей не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число; 5) если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число?

Рассмотрим произведение чисел a и b: ab. Докажем, что, если a делится на некоторое число c, то ab также делится на это число. В самом деле, если a делится на некоторое число c, значит существует число k такое, что a = kc, значит ab = kc b = c (kb) т. е. существует такое число kb, что ab = c (kb), следовательно, ab делится на c.

Покажите, что данные дроби можно сократить на 9: Сократите дроби:

ОРЕХИ 500 100 1000 21 орех 15 орехов 8500 р. 500 500 100 1000 9100 р. 3 друга 5 рабочих Шоколадные конфеты 15 роз 19 роз 17 штук 3 вазы 5 гостей Шоколадные конфеты 23 штуки

У 772. ВЕРНО ЛИ, ЧТО: 1) если хотя бы одно слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число; НЕВЕРНО 2) если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число; НЕВЕРНО 3) если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. ВЕРНО

"Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то это число является их общим делителем. А значит, его, как общий множитель, можно вынести за скобки. Получившееся выражение делится на этот множитель, следовательно, и исходное выражение тоже на него делится". Обычно такие рассуждения проводят в буквенной форме. Если числа а и b делятся на m, то а + b = m · k + m · l = m · (k + l). Мы получили выражение, которое делится на m, значит, и исходное выражение тоже делится на m.

Покажите, что данные дроби можно сократить на 5: Пропедевтика сокращения алгебраических дробей после разложения числителя и знаменателя на множители.

У 782. ВЕРНО ЛИ, ЧТО: 1) если сумма делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число; НЕВЕРНО 2) если разность делится на некоторое число, то и уменьшаемое и вычитаемое делятся на это число; НЕВЕРНО 3) если натуральное число а делится на число b, то а можно представить в виде суммы натуральных чисел, каждое из которых делится на b; 4) если натуральное число а делится на число b, то а можно представить в виде разности натуральных чисел, каждое из которых делится на b? ВЕРНО

Если все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Далее рассматриваются признаки делимости на 2, 5, 10. Их доказательство также доступно учащимся 6 класса. Любое натуральное число можно представить в виде суммы некоторого числа десятков и однозначного числа: m 10 + n. Например, 36 = 30 + 6, 35 = 30 + 5, 37 = 30 + 7.

Рассмотрим выражение: m 10 + n. Здесь n – это последняя цифра в записи числа. Поскольку первое слагаемое делится и на 2, и на 5, и на 10, имеем: – если последняя цифра числа не делится на 2, то и само число не делится на 2; – если последняя цифра числа не делится на 5 (а это все цифры, кроме 5 и 0), то и само число не делится на 5, – если последняя цифра числа не 0, то оно не делится на 10, т. к. последнее слагаемое в этом случае на 10 не делится.

Далее рассматриваются признаки делимости на 3, 9. Сначала их доказательство в общем осуществляется для трехзначных чисел. Затем учащимся предлагается выполнить его самостоятельно для четырехзначных чисел. После этого делается вывод, что аналогичные рассуждения можно провести для чисел с любым числом знаков. Вывод делается на основании неполной индукции, что вполне допустимо в школьном курсе математики.

Определите, можно ли сократить дробь на 2, на 5 или на 10 и сократите ее:

У 879. 1 2 3 4 5 6 Один делитель Два делителя Ни простое ни составное число Простые числа 7 8 9 10 Более двух делителей Составные числа Простое число – это число, которое делится только на 1 и на само себя.

У 896. 15 = 3 · 5 16 = 2 · 2 · 2 18 = 2 · 3 20 = 2 · 5 21 = 3 · 7 115 = 5 · 23 165 = 3 · 5 · 11

Найдите произведение и частное дробей, разложив предварительно числитель и знаменатель на простые множители

1) Найдите наибольший общий делитель чисел 84 и 90. 2) Каждое число и их НОД разложите на простые множители. Проанализируйте полученные результаты. Проверьте себя. 1 84 = 22 · 31 · 7 90 = 21 · 32 · 5 2 3 НОД(84, 90) = 6 = 21 · 31 Сформулируйте правило отыскания НОД двух чисел, в соответствии с пунктами 1, 2, 3. Проверьте себя.

1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений. 3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которым оно входит в разложения данных чисел. 4. Записать произведение полученных степеней.

Взаимно простые числа не имеют одинаковых делителей, кроме 1 НОД (35, 36) = 1 35 = 5 · 7 35 и 36 – взаимно простые числа. 36 = 2 · 3 · 3 В разложениях взаимно простых чисел на простые множители нет одинаковых простых множителей

12 15 24 74 84 Делятся на 2: 12 74 96 12 198 84 15 96 Делятся и на 2 и на 3: 12 24 135 198 Делятся на 3: 24 84 96 84 ВСЕ ДЕЛЯТСЯ НА 6 24 135 198 2 · 3 = 6 96 198

Если число делится и на 2 и на 3, то оно делится на 6

12 15 18 24 36 Делятся на 6: 12 36 42 45 54 Делятся на 9: 18 24 42 18 36 54 Делятся и на 6 и на 9: 18 36 54 6 · 9 = 54 54 НЕ ВСЕ ДЕЛЯТСЯ НА 54

Делятся и на 2 и на 3: Делятся и на 6 и на 9: 2 · 3 = 6 6 · 9 = 54 ВСЕ ДЕЛЯТСЯ НА 6 НЕ ВСЕ ДЕЛЯТСЯ НА 54 НОД (2, 3) = 1 НОД (6, 9) = 3

Если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

1) Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 90. 2) Каждое число и их НОК разложите на простые множители. Проанализируйте полученные результаты. Проверьте себя. 1 84 = 22 · 31 · 71 90 = 21 · 32 · 51 2 3 НОК(84, 90) = 1260 = 22 · 32· 51 · 71 Сформулируйте правило отыскания НОК двух чисел, в соответствии с пунктами 1, 2, 3. Проверьте себя.

1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений. 3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которым оно входит в разложения данных чисел. 4. Записать произведение полученных степеней.

Примеры заданий. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: Вычислите:

Примеры заданий из «Сборника задач и упражнений по математике. 6 класс»