Творческая работа по теме: «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений» Выполнила ученица 8 Б класса МБОУ « Лицей № 1» Мелехова Софья.
О квадратных уравнениях Из геометрического метода нахождения квадратных корней вытекает любопытнейший способ решения квадратных уравнений. Рассмотрим его на нескольких примерах.
Пусть надо решить уравнение: х2+10 х+9=0, уравнение имеет вид x²+px+q=0, D=100 -36=64, D>0 -уравнение имеет 2 р. д. корня.
Выполним следующее построение: В Е D С А
Сначала по катету ВС=√q=√ 9=3 и гипотенузе AB=p/2=10/2=5 построим прямоугольный треугольник АВС. Заметим сразу, что AC=√(р/2)²-q=√ 5²-3²=4. А теперь радиусом, равным р/2=5, проведем окружность с центром в точке А. Она пересечет продолжение катета АС в двух точках, которые обозначим D и E. Заметим, что отрезок DC составлен из АС =√(р/2)²-р=4 и АD=p/2=5, т. е. DC=9=|х ₁|. Отрезок СЕ=1=|x₂| есть разность отрезков AE= p/2=5 и АС=√(p/2)²-q=4 т. е. отрезок СЕ=1= | х₂|. Так получилось, потому что отрезок ВС есть корень квадратный из произведения отрезков |x₁| и |x₂|. (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике).
Получился такой порядок. Сначала, имея уравнение x²+px+q=0, построим отрезки p/2 и √q Это всегда можно сделать. Начнем строить прямоугольный треугольник по двум отрезкамгипотенузе и катету. Сначала отложим катет, равный √q. Это тоже всегда получится. Возьмем теперь раствор циркуля, равный p/2, ножку циркуля поместим в точку В и проведем дугу окружности, чтобы получить точку А. А вот это получится далеко не всегда! Если катет √q больше гипотенузы p/2, то треугольника не построить. Иначе можно сказать, что если √q> p/2, то p²/4 –q дискриминант квадратного уравнения отрицателен , и такое уравнение решений не имеет.
p может быть меньше 0, а q должно быть только положительным числом, а все остальное делается одинаково и для p>0, и для p<0. Надо только знать, какие знаки приписать числам, выражающим длины отрезков СЕ и DС. х₁=-9 х₂=-1 В случае, когда перед q стоит знак минус(мы не будем считать q отрицательным числом, а просто будем говорить, что вычитается положительное число) , построение производится иначе, и здесь старый рисунок уже не поможет. Итак, пусть дано уравнение: х2+8 х-9=0, D=16+9=25 , D>0, уравнение имеет 2 р. д. к. .
Выполним следующее построение: С Е В D А
Построим прямоугольный треугольник АВС С катетами ВС=√q=3 АС= p/2=4. Его гипотенуза АВ по теореме Пифагора √(p/2)²+q =5. Заметим сразу, что такое построение возможно всегда, тут нет каких-либо исключений. А теперь радиусом p/2=4 проведем окружность с центром в точке А. Она пересечет гипотенузу и ее продолжение в точках D и Е. Нетрудно убедиться, что DB=|х₁|, а ВЕ=|x₂|.
Знак модуля поставлен для этого, чтобы можно было рассматривать эту задачу и для p<0, знаки корней надо находить по теореме Виета. DB=АВ-АD=5 -4=1; ВЕ= DB + АD+АЕ=1+4+4=9; х₁+ x₂= -p ; х₁* x₂= q – по теореме Виета. х₁+ x₂ = -8, х₁=1, х₁* x₂= -9, x₂=-9.
Решим это уравнение по формуле корней: х2+8 х-9=0; а=1 R=4 c=-9; D= R²- ac; D=42 + 1*9=16+9=25; D>0, ур-ние имеет 2 р. д. к. ; х = -R √D ; а х₁=-4 – √ 25, х₂=-4 + √ 25, 1 1 х₁=-9, х₂=1.
Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять эти замысловатые построения. Но интересно отметить сейчас важный факт: квадратные уравнения могут быть решены геометрическим путем. Иногда в науке важно установить саму возможность решения задачи заданными средствами, а уж надо будет решать именно этими средствами или не надодругое дело.
Скачать презентацию Творческая работа по теме Нестандартные приемы решения квадратных
e9c60cecfc145f8496ec2775b494eea3.ppt