ТВ и МС Лекция 1 Случайные события Основные

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

ТВ и МС. Лекция 1. Случайные события. Основные темы лекции • • • 1. Основные понятия теории вероятностей 2. Алгебра событий 3. Определение вероятности 4. Основные теоремы теории вероятностей 5. Условная вероятность 6. Последовательность независимых, однородных испытаний. Схема Бернулли 1

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей Исходными в теории вероятностей являются понятия: - стохастический эксперимент - случайное событие - вероятность случайного события. Стохастический эксперимент (испытание, опыт, наблюдение) – эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя. Случайное событие - явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента. События обычно обозначаются заглавными греческими или латинскими буквами Вероятность случайного события p– числовая величина возможности того, что случайное событие произойдет. Изменяется в пределах 0<=p<=1. p=0 - невозможное событие. Обозначается p =1 – достоверное событие. Обозначается 2

Элементарное событие. Одно из возможных событий (результатов) эксперимента. Так, при бросании монеты два элементарных события «орел» или «решка» на верхней стороне. Элементарные события обозначают греческими ( i) буквами. Обычно элементарные события равновозможны, так как ни одно из них не является более возможным. Пространство элементарных событий - совокупность всех элементарных событий. Состоит из конечного множества (n) элементарных событий Элементарное событие обладает следующими свойствами: § 1. В результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий. § 2. По наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло само событие А. Пример 1. Бросаются две игральные кости. На верхней стороне может оказаться любая пара, (1, 1), (4, 5) и т. д. Каждая пара является элементарным событием. Очевидно, в данном опыте 36 элементарных случайных событий, которые образуют пространство элементарных событий 3

Благоприятствующие элементарные события Пример 2. Пусть в результате каждого броска двух игральных костей на верхней стороне должны появиться только четные пары (2, 2), (4, 6) и т. д. Обозначим это случайное событие буквой А. Так же, как в примере 1, возможны все 36 элементарных события, они формируют , пространство элементарных событий опыта. Элементарными событиями, удовлетворяющими эксперименту будут только все возможные четные пары - (2, 2), (4, 6) и т. д. Они формируют совокупность (множество) всех элементарных событий, наступление которых приводит к появлению события А (благоприятствуют А ). Обозначают элементы этого множества А. Все множество А является подмножеством пространства элементарных событий данного опыта Элементарные события А благоприятствуют появлению случайного события А. Они называются благоприятствующими событию А элементарными событиями. Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из благоприятствующих событию А элементарных событий, 4

2. Классификация случайных событий 1. Достоверное событие – событие, которое наступает при появления любого элементарного события А . . Его вероятность равна 1. 2. Невозможное событие – событие, которое не наступает ни при каком элементарном событии. Ему соответствует пустое множество, обозначается символом , его вероятность равна 0. 3. Противоположное событие происходит только тогда, когда А не происходит. Его вероятность обозначают q. Очевидно, p + q =1 ; q =1 - p. Очевидно , 4. Несовместные события. Cобытия A и B несовместны, если их одновременное появление в опыте невозможно. Вероятность произведения двух несовместных событий А и В равна нулю, Р(АВ) =0. Элементарные случайные события несовместны, вероятность произведения двух элементарных случайных событий равна нулю 5. Совместные события. Cобытия A и B совместны, если их одновременное появление в опыте возможно. Вероятность произведения двух совместных событий отлична от нулю 5

2. Классификация событий 6. Равновозможные события. События равновозможны, если нет основания считать, что одно из них произойдет скорее, чем другое. Элементарные случайные события равновозможны. 7. Независимые события. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от результата другого. Так, если А и В – получение положительной оценки на двух экзаменах, то А и В – независимые события. 8. Зависимые случайные события. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от результата другого из них. Так если А – положительная оценка с первой попытки, а B – со второй при неудачной первой, то A и B – зависимые случайные событий. Вероятность зависимого случайного события называется условной вероятностью, обозначается PA(B), P(B/A) 6

3. Алгебра событий. Основные операции Алгебра событий – результат взаимодействия двух и более случайных событий 1. Сумма двух событий А и В- событие С, происходящее тогда, когда а) происходит или А, или В (события несовместны). В этом случае С=А+В б) происходит или А или В или оба события вместе (события совместны). В этом случае С=А+В - АВ Сумме событий А и В соответствует объединение A B (рис. 1) 2. Произведение двух событий А и В - это событие АВ, которое происходит тогда , когда а) когда происходит и А, и В (если события совместны) б) не происходит, если события несовместны. В этом случае АВ=0 Произведению событий А и В соответствует пересечение А В (рис. 1. ) 3. Разность событий А и В – событие С= А - В, происходящее тогда, когда происходит А, но не происходит В. Разности событий соответствует разность множеств С=АВ. Разность событий можно вычислить А- В= 7

Алгебра событий. Основные операции. Независимые события • Для независимых событий А и В справедливо: • Для суммы Для произведения 1. Переместительный закон: А+В= В+А; АВ= ВА 2. Сочетательный закон: А+(В+С)= (А +В) +С; А(ВС)= (АВ)С; 3. Распределительный закон А+(ВС)= (А+В)(А+С+); А(В+С)= (АВ)+АС; 4. Очевидные соотношения • A+ A= , A A= . А+ = А =А • - A = A А - = • А+А=А АА=А • Для несовместных событий АВ=0 • Разность А-В= 8

Алгебра событий. Пример • Производится два выстрела по цели. Пусть событие А попадание в цель при первом выстреле и В - при втором, • Тогда A и B - промах соответственно при первом и втором выстрелах. • Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. • Требуется выразить С через А и В. • Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: • - попадание при первом выстреле и промах при втором • - промах при первом и попадание при втором AB, • - попадание при первом и втором выстрелах АВ Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть • С= AB+ BA +AB 9

4. Определение вероятности Пусть А - случайное событие, которому соответствует счетное множество элементарных событий i. Пусть каждому элементарному событию i приписан некоторый «вес» , равный pi , который называют вероятностью элементарного события i. Вероятности pi удовлетворяют следующим свойствам: 1. Условие нормировки 2. Вероятность элементарного случайного события А равна 3. Классическая схема вычисления вероятности ( когда элементарные случайные события равновозможны и их вероятности равны) Здесь n – количество элементарных событий эксперимента; m – количество элементарных событий, благоприятствующих А 10

Вычисление вероятности по классической схеме Р(А) = m / n В самом простом варианте m и n возможно просто посчитать. Очень часто для определения m и n применяют правила комбинаторики, по которым можно вычислить число комбинаций, когда из множества из n элементов, отбирается определенным образом m элементов. Различают три способа комбинаций из n по m элементов: 1. Размещения 2. Перестановки 3. Сочетания • Размещения. Комбинации из n по m элементов, когда из множества, состоящего из n различимых элементов отбирается в определённом порядке m элементов. Комбинации различаются либо составом либо порядком элементов. Число вариантов вычисляют по формуле Например, из 20 членов правления фирмы нужно отобрать трёх вицепрезидентов, ответственных за производство, финансы, реализацию продукции. Так как порядок отбора имеет значение, то число вариантов отбора 11

Элементы комбинаторики 2. Перестановки – случай, когда n = m Пример. В соревновании участвуют 7 спортсменов. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Сколько всего вариантов жеребьевки Решение. Комбинации различаются только порядком расположения элементов. Число вариантов равно числу перестановок 12

Элементы комбинаторики 3. Сочетания – комбинации, когда порядок отбираемых m элементов из n не играет роли Свойства числа сочетаний Пример 6. Сколькими способами можно из 20 (n =20 ) присяжных заседателей отобрать трёх (m =3) для участия в судебном процессе. Решение. Порядок отбора кандидатуры несущественен, число вариантов равно числу сочетаний из двадцати по три 13

Пример 7. Вычисление вероятности по классической схеме К экзамену подготовлены 30 теоретических вопросов и 50 задач. Студент выучил 20 вопросов и умеет решать 30 задач. Определить вероятность того, что студент получит отлично, если для этого надо правильно ответить на два вопроса и решить три задачи, выбранные случайным образом. Решение: 1. Пространство элементарных событий n этого опыта – множество всех наборов из двух вопросов и трёх задач. Выбор случаен, все исходы равновозможны и применимо классическое определение вероятности. Для подсчёта n - числа исходов, заметим, что два теоретических вопроса из 30 можно выбрать С 302 способами (порядок следования здесь не важен), а три задачи из 50 можно выбрать С 503 способами. По правилу произведения общее число таких наборов будет равно: 14

Продолжение решения примера 7 Событие А- отличная оценка, реализуется тогда, когда оба вопроса окажутся из 20 выученных и все три задачи из 30 известных студенту. Число таких наборов- благоприятствующих событию А исходов - находится аналогично: • Поэтому искомая вероятность равна 15

5. Теоремы вычисления вероятностей 5. 1. Вероятность противоположного события Пусть Р(А) - вероятность случайного события А. Тогда вероятность противоположного события A 5. 2. Вероятность суммы двух событий Вероятность суммы двух совместных случайных событий равна: Для несовместных событий Р(А+В) =Р(А) + Р(В) 5. 3 Вероятность произведения двух событий - Для независимых совместных событий Р(АВ)=Р(А)Р(В) - Для несовместных случайных событий Р(АВ)=0 - Для зависимых случайных событий Здесь • условные вероятности В общем случае 16

6. Условная вероятность В ряде случаев вероятность одного события, например В, зависит от другого события А. Тогда говорят об условной вероятности события В при условии, что произошло событие А. Обозначают условную вероятность р. А (В), р(В|А) Если А произошло, то реализован один из m(А) исходов. Событие В может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих АВ (и А и В). Таких исходов m(AB). Тогда условная вероятность события В при условии, что А произошло, равна отношению Отношение называется условной вероятностью события В при условии, что событие А с ненулевой вероятностью произошло, 17

Условная вероятность – пример 8. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил 25. Если он не ответит по первому билету , то ему разрешается взять второй. Любой взятый билет – событие равновозможное Определить вероятность того, что: 8 а) второй билет окажется «счастливым» ; Решение 8 а). Пусть событие А - первый вытащенный билет оказался «плохим» ; событие В - второй оказался – «хорошим» . После наступления события А один из «плохих» билетов уже извлечён, остаётся 29 билетов, из которых 25 студент знает. Искомая условная вероятность равна 18

Условная вероятность – пример 8. 8 б) студент сдаст экзамен Решение 8 б. Пусть событие А - студент сдал экзамен с первой попытки, событие В – успешная сдача со второй попытки при неудачной первой. Искомое событие С - успешная сдача экзамена выражается следующим образом: а его вероятность равна 19

7. Последовательность независимых, однородных испытаний. Схема Бернулли • Рассмотрим стохастический эксперимент, который является последовательностью n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие А или ему противоположное А с вероятностями р и q=1 -р соответственно. • По условию результат любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, что произошло до него. • Найдём вероятность pn(m) события Bn(m), заключающегося в том, что в результате n испытаний событие А появится ровно m раз. • Интересующее нас событие появится тогда, когда произойдет одно из следующих событий: 20

Так как m элементов типа А распределяются по n позициям, то число таких комбинаций равно числу сочетаний из n по m • Так как все слагаемые попарно несовместны, а множители в каждом слагаемом независимы, то искомая вероятность будет равна сумме одинаковых слагаемых, каждое из которых содержит m множителей р(А)=р и n-m множителей р( А) = q. В итоге получим локальную формулу Бернулли вероятности того, что в серии из n испытаний событие А появится ровно m раз Вероятность события, заключающегося в том, что при n испытаниях A появится не менее m 1 и не более m 2 раз вычисляется по интегральной формуле Бернулли 21

Пример применения формулы Бернулли Задача 9. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0. 4, р=0. 4; вероятность противоположного события q =0. 6. Найти вероятность того, что а) из шести сотрудников фирмы заболеет ровно четыре Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли, где р=0. 4, q=0. 6, n=6, m=4 поэтому применяем локальную формулу Бернулли б) из шести заболеет не более четырех сотрудников Решение. Вторую задачу можно решить двумя способами б. 1)Используя интегральную формулу Бернулли б. 2 )используя теорему о вероятности противоположного события: 22

Схема Бернулли. Приближенные вычисления. Локальная и интегральная формулы Бернулли при больших n и m приводят к громоздким вычислениям. В таких задачах применяют приближенные методы вычислений. К ним относятся приближенные асимптотические формулы Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа. 1. Формула Пуассона. Применяется при малой вероятности Р наступления события А в серии из n испытаний. Основные предпосылки применения формулы: 1. р мало, 2. n велико, 3. произведение np стремится к конечному числу. Приближенная формула Пуассона. Табулирована 23

Схема Бернулли. Приближенные вычисления. 2. Локальная формула Муавра – Лапласа Применяется при конечных значениях p и q , достаточно большом n и условии npq >= 20 Локальная формула Муавра – Лапласа Здесь функция Гаусса для аргумента Функция Гаусса f(x)- четная, монотонно убывающая, табулированная функция; 24

Схема Бернулли. Приближенные вычисления. 3. Интегральная формула Муавра – Лапласа Применяется для вычисления вероятности того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено на отрезке [a, b] • Здесь - • вероятностей) Лапласа. • Функция Ф(х) нечетная, табулирована, монотонно возрастающая (при х>4 Ф(х) близка к 1). При npq >= 20 формула дает достаточно точные результаты. -функция (интеграл 25

Лекция 2. Случайные величины. Основные вопросы, рассматриваемые в лекции 1. Основные понятия. Термины. Классификация 2. Числовые характеристики случайной величины 3 Законы распределения случайных величин. Параметры распределения 4. Многомерные случайные величины 4. Корреляционная зависимость 26

1. Основные понятия. Термины. Классификация Случайная величина (далее СВ)- величина, численное значение которой зависит от результата стохастического эксперимента. Примеры случайных величин: • - оценка на экзамене -положительное число (от 2 до 5); • - продолжительность работы телевизора до выхода из строя любое неотрицательное число. Случайные величины обозначают заглавными греческими ( , , ) или латинскими (X, Y, Z) буквами , а их возможные значения – соответствующими прописными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на две большие группы – дискретные СВ и непрерывные СВ. Дискретная СВ - величина, возможные значения которой образуют конечное или бесконечное счётное множество. На числовой оси представляются точками. Непрерывные СВ задаются на всей числовой оси или на заданном интервале или отрезке 27

Скачать презентацию ТВ и МС Лекция 1 Случайные события Основные

Обзор ТВ и МС.ppt

Количество слайдов: 27