Скачать презентацию Тройной интеграл Пушникова Марина Юрьевна Определение Скачать презентацию Тройной интеграл Пушникова Марина Юрьевна Определение

3.7 Тройной интеграл.ppt

  • Количество слайдов: 13

Тройной интеграл Пушникова Марина Юрьевна Тройной интеграл Пушникова Марина Юрьевна

Определение § В плоской области D определена функция двух переменных z=f(x; y) § Область Определение § В плоской области D определена функция двух переменных z=f(x; y) § Область D разбиваем на n элементарных областей с площадями и в каждой элементарной области выбираем произвольную точку § Составляем интегральную сумму § В пространственной области V определена функция трех переменных u=f(x; y; z) § Область V разбиваем на n элементарных областей с объемами и выбираем в каждой области произвольную точку § Составляем интегральную сумму

Определение § Существует предел интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных Определение § Существует предел интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей § Предел не зависит от способа разбиения области D на элементарные § Предел не зависит от выбора точек § Существует предел интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей § Предел не зависит от способа разбиения области V на элементарные § Предел не зависит от выбора точек

Вычисление § Пусть функция трех переменных f(x; y; z) определена и непрерывна в пространственной Вычисление § Пусть функция трех переменных f(x; y; z) определена и непрерывна в пространственной области V, которая ограничена сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , где функции определены и непрерывны в плоской области D § Тогда вычисление тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево) вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные х и у считаются при этом константами) и двойного интеграла от того, что получится по области D

1. Линейность: Свойства 2. Монотонность: 3. Теорема о среднем значении: 4. Аддитивность: 5. Теорема 1. Линейность: Свойства 2. Монотонность: 3. Теорема о среднем значении: 4. Аддитивность: 5. Теорема о модуле двойного интеграла:

Пример z 1 1 1 x y Пример z 1 1 1 x y

Замена переменных Цилиндрические координаты Сферические координаты z M r M z z r х Замена переменных Цилиндрические координаты Сферические координаты z M r M z z r х y у x

Пример z 2 z=2 y x Пример z 2 z=2 y x

Пример z 1 1 1 x y Пример z 1 1 1 x y

Приложения 1. Объем тела 2. Масса тела с переменной плотностью 3. Статистические моменты тела Приложения 1. Объем тела 2. Масса тела с переменной плотностью 3. Статистические моменты тела с переменной плотностью относительно координатных плоскостей

Приложения 4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью 5. Моменты инерции тела с Приложения 4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью 5. Моменты инерции тела с переменной плотностью относительно координатных плоскостей и осей

Пример: вычислить объем тела, ограниченного z 2 y x Пример: вычислить объем тела, ограниченного z 2 y x

Пример: вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара радиуса R с центром в начале Пример: вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат при постоянной плотности, равной z R O x R y