Тригонометрические уравнения Виды, способы решения, примеры
Метод универсальной подстановки Равенство одноименных функций Способы решения тригонометрических уравнений Простейшие Уравнения, содержащие одну функцию одного и того же аргумента Разложение на множители Однородные уравнения Сводящиеся к ним Введение вспомогательного угла Формулы понижения степени Нестандартные способы решения Использование ограниченности тригонометрических функций
Простейшие уравнения Sinx=a sinx=a, |a|≤ 1 x=(-1)n arcsin a +πn, n – целое число Например: sin x=½ x=(-1)n π/6 + πn, n – целое число Частные случаи: sin x=0 sin x=1 sin x=-1 x=πn, n – Z x=π/2+2πn, n-Z x=-π/2 +2πn, n-Z
Простейшие уравнения Cos x=a cos x=a, |a|≤ 1 x=±arccos a +2πn, n – Z Например: cos x=1/8 x= ±arccos 1/8 +2πn, n - Z Частные случаи: cos x=0 cos x=1 x=π/2 +πn, n – Z x=2πn, n – Z cos x=-1 x=π + 2πn, n - Z
Простейшие уравнения Tg x = a tg x =a x = arctg a +πn, n – Z x ≠ π/2 +πk, k – Z Например: tg x=3/5 x= arctg 3/5 +πn, n – Z x ≠ π/2 + πk, k – Z tgx=√ 3 x= π/3 + πn, n – Z x ≠ π/2 + πk, k - Z
Простейшие уравнения Ctg x=a ctg x=a x= arcctg a + πn, n – Z x ≠ πk, k – Z Например: ctg x=0 x= π/2 +πn, n – Z x ≠ πk, k – Z ctg x= 1 x= π/4 + πn, n - Z x ≠ πk, k - Z
Уравнения, сводящиеся к простейшим 1). cos (2 x- π/4)=-√ 3/2 3). tg (3 x + π/2)=-√ 3 2 x- π/4= ± 5π/6 +2 πn, n – Z 3 x+ π/2=-π/3 +πn, n - Z x= π/8 ± 5π/12 + πn, n – Z 3 x=-5π/6 +πn, n - Z x=-5π/18 + πn/3, n - Z 2). 2 sin x+ √ 3 =0 4). ctg 3 x =- √ 3 /3 2 sin x= - √ 3 3 x=2π/3 +πn, n - Z sin x=- √ 3 /2 x = π/9 + πn/3, n – Z x=(-1)n 5π/3 + πn, n - Z x ≠ πk/3, k – Z
? Простейшие уравнения и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) cos x = 2, 5 2) sin x = √ 3/2 3) tg x + 1 = 0 4) ctg x = 2, 5 5) sin (x/2 – π/6) + 1 = 0 6) 2 cos (x/2 – π/6) = √ 3 7) √ 3 tg (x/3 + π/3) = 3
Ответы: 1) нет решений 2) x = (-1)n * π/3 + 2πn, n – Z 3) x = - π/4 + πn, n – Z 4) x = arcctg 2, 5 + πn, n – Z 5) x = - π/2 + 4πn, n - Z 6) x = 3πn, n – Z
Уравнения, содержащие функцию одного аргумента Уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного аргумента решаются методом замены переменной 1) 2 cos 2 x – 15 cos x – 8 = 0 cos x = t, |t|≤ 1 2 t 2 - 15 t – 8 = 0 D=225+64=289 t 1= -1/2 t 2 = 8 не удовлетворяет условию cos x = -1/2 x= ± 2π/3 +2πn, n - Z
Уравнения, сводящиеся к одной функции одного аргумента cos 4 x – 3 cos 2 x = 1 2 cos 22 x – 1 – 3 cos 2 x – 1 = 0 2 cos 22 x – 3 cos 2 x – 2 = 0 cos 2 x=t, |t|≤ 1 2 t 2 – 3 t – 2 = 0 D=25 t 1=-1/4 t 2=1 cos 2 x = -1/4 x = ± 1/2 arccos(-1/4)+πn, n – Z cos 2 x = 1 x= πk, k – Z
? Уравнения, содержащие функцию одного аргумента и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) 3 cos 2 x = 7 sin x 2) 1 / sin 2 x = ctg x + 3 3) 2 sin 2 x – 3 sin x – 2 = 0 4) 4 sin 2 x – 4 cos x = 1 5) 2 tg x + ctg x = 1 6) 26 sin x + 27 sin 2 x + 27 cos 2 x = 26
Ответы: 1) x = (-1)n * arcsin 1/3 + πn, n – Z 2) x = 3π/4 + πn, n – Z x = arcctg 2 + πk, k – Z 3) x = (-1)n+1 * π/6 + πn, n – Z 4) x = ± π/3 + 2 πn, n – Z 5) x = -arctg ½ + πn, n – Z x = π/4 + πk, k – Z 6) x = (-1)n+1 * arcsin 1/26 + πn, n - Z
Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители 1) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 2 sin 2 x * cos x + sin 2 x = 0 sin 2 x (2 cos x + 1) = 0 sin 2 x = 0 x = πn/2, n - Z 2 cos x = -1 x = ± 2π/3 + 2πk, k – Z 2) sin 5 x – sin x = 0 2 sin 2 x * cos 3 x = 0 sin 2 x = 0 x = πn/2, n - Z cos 3 x = 0 x = π/6 + πk/3, k - Z
? Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители Попробуйте решить следующие уравнения: 1) sin 2 x + cos 8 x – cos 6 x = 1 2) 2 cos x + sin 2 x + 1 = 0 3) 6 sin x * cos x + 2 sin x + 3 cos x + 1 = 0
Ответы: 1) x = πn/4, n - Z x = πk, k – Z x = π/6 + πm/3, m – Z 2) x = - π/2 + 2 πn, n – Z x = ± 2π/3 + 2 πk, k – Z 3) x = (-1)n+1 * π/6 + πn, n – Z x = ±arccos (-1/3) + 2 πk, k - Z
Однородные уравнения Тригонометрическое уравнение вида asin x + bcos x = 0 называется однородным 1 -ой степени. Решаются методом деления asin x + bcos x = 0, a≠b |: cos x = 0 не является корнем уравнения atg x + b = 0 tg x = -b/a x = -arctg (b/a) + πn, n - Z
Однородные уравнения cos 2 x – 3 sin x * cos x + 2 sin 2 x =0 |: cos x = 0 не является корнем уравнения 1 – 3 tg x + 2 tg 2 x = 0 tg x = t 2 t 2 – 3 t + 1 = 0 t 1 = 1 t 2 = ½ tg x = 1 x = π/4 + πn, n - Z tg x = ½ x = arctg ½ + πk, k - Z
Уравнения, сводящиеся к однородным a f(x) + b g(x) = c a f 2(x) + b f(x)g(x) + c g 2(x) = d, d = d*1 = d(sin 2 x + cos 2 x) Например: 2 sin 2 x + sin x * cos x + 9 cos 2 x = 5 2 sin 2 x +sin x * cos x + 9 cos 2 x – 5 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 -3 sin 2 x + sin x * cos x + 4 cos 2 x = 0 |: cos 2 x, cos x = 0 не является корнем уравнения 3 tg 2 x – tg x – 4 = 0 tg x = -1 x = - π/4 + πn, n - Z tg x = 4/3 x= arctg (4/3) + πk, k - Z
? Однородные уравнения и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) sin x + cos x = 0 2) 4 sin 2 x + 3 sin x cos x – 7 cos 2 x = 0 3) 3 cos 2 x + 3 sin x cos x = 2 4) 3 cos x + 4 sin x = 5 5) 6 cos 2 x – 2 sin 2 x = 5
Ответы: 1) x = π/2 + πk, k – Z x = 2 πn, n – Z x = - π/4 + πm, m – Z 2) x = π/4 + πn, n – Z x = - arctg 7/4 + πk, k – Z 3) x = arctg (3±√ 17/4 ) + πn, n – Z 4) x = 2 arctg ½ + 2 πn, n – Z 5) x = ±arctg √ 7/7 + πn, n - Z
Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций Решаются по формулам: 1) sin x = sin y x = y + 2 πn, n – Z x = π – y + 2 πn, n – Z 2) cos x = cos y x = y + 2πn, n – Z x = -y + 2 πn, n - Z 3) tg x = tg y x = y + πn, n - Z x ≠ π/2 + πk, k - Z y ≠ π/2 + πm, m - Z 4) ctg x = ctg y x = y + πn, n - Z x ≠ πk, k – Z y ≠ πm, m - Z
Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций 1) sin 10 x = sin 5 x 10 x = 5 x + 2 πn 10 x = π – 5 x + 2 πn, n – Z x = 2πn/5 x = π/15 + 2 πn/15, n – Z 2) cos 4 x = sin 5 x cos 4 x = cos (π/2 – 5 x) 4 x = π/2 – 5 x + 2 πn x = π/18 + 2 πn/9 4 x = - π/2 + 5 x + 2 πn, n – Z x = π/2 + 2 πn, n – Z
? Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций Попробуйте решить следующие уравнения: 1) tg 3 x = tg x 2) cos x = cos (1 - 4 x) 3) cos x = sin 5 x 4) cos 6 x = 1 – 2 sin 2 x
Ответы: 1) x = πn/2, n – Z x ≠ π/2 + πk, k – Z 2) x = 1/5 + 2πn/5, n – Z x = 1/3 + 2πk/3, k – Z 3) x = π/12 + πn/3, n – Z x = π/8 + πk/2, k – Z 4) x = πn/2, n – Z x = πn/4, n - Z
Решение уравнений используя формулу понижения степени Решаются по формулам: cos 2 x = ½ (cos 2 x + 1) 2 cos 2 x = cos 2 x + 1 sin 2 x = ½ (1 -cos 2 x) 2 sin 2 x = 1 – cos 2 x Например: cos 2 x + sin 4 x = 2 cos 6 x 4 cos 2 x + (1 – cos 2 x)2 = (cos 2 x + 1)3 cos 2 x = t |t| ≤ 1 4 t + 1 – 2 t + t 2 = t 3 + 3 t 2 + 3 t + 1 t (t +1)2 = 0 t=0 cos 2 x = 0 x = π/4 + πn/2, n - Z t = -1 cos 2 x = -1 x = π/2 + πk, k - Z
Решение уравнений методом введения вспомогательного угла a sin x + b cos x = 0 √a 2 + b 2 * ((a/ √a 2 + b 2 )* sin x+ (b/ √a 2 + b 2) cosx = 0 sin (x + φ) = 0 cos φ = a/ (a/√a 2 + b 2) x = - arccos (a/√a 2 + b 2) ± πn, n – Z Например: 5 sin x – 2 cos x = - √ 29/2 5/√ 29 sin x – 2/√ 29 cos x = - ½ sin (x – φ) = - ½ sin φ = 2/√ 29 x – φ = (-1)n+1 π/6 + πn, n – Z x = (-1)n+1 π/6 + arcsin 2/√ 29 + πn, n - Z
Метод универсальной тригонометрической подстановки Уравнения решаются по формулам: cos x = (1 – tg 2(x/2)) / (1 + tg 2 (x/2)) sin x = (2 tg(x/2)) / (1 + tg 2(x/2)) Например: 10 cos 2 x + 8 = tg x 10 ((1 – tg 2 x)/(1+tg 2 x)) + 8 – tg x = 0 tg x = t 10 – 10 t 2 + 8 t 2 – t 3 = 0 t = 2 – корень (t – 2)*(t 2 +4 t +9) = 0 tg x = 2 x = arctg 2 + πn, n – Z
Использование ограниченности функций |sin x| ≤ 1, |cos x| ≤ 1 1)cos 4 x – sin x – 2 = 0 cos 4 x – sin x = 2 cos 4 x = 1 x = πn/2, n - Z -sin x = 1 x = - π/2 + 2 πk, k – Z 2) cos 5 x + sin 4 x = 1 cos 5 x ≤ cos 2 x sin 4 x ≤ sin 2 x равенство выполняется при cos x =1 sin x = 1 cos x = 0 sin x = -1 sin x = 0 Ответ: x = π/2 + πn, n - Z x = 2πk, k - Z
Об авторах Ларионова Ксюша, умная, красивая, добрая, а главное - очень скромная!!!: ) Коняшкина Катя, еще умнее, еще красивее, еще добрее, а главное еще скромнее!!! : ) Материалы взяты из учебника «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова
Скачать презентацию Тригонометрические уравнения Виды способы решения примеры Метод
Решение тригонометрических уравнений.ppt