Тригонометрические уравнения sin x 0 -1 cos

Тригонометрические уравнения

sin x 0 -1 cos x

Частные случаи sin x 0 cos x -1

sin x 0 cos x -1

Частные случаи sin x 0 cos x -1

sinx tgx 0 cosx

Простейшие тригонометрические уравнения Если то то решений нет Если то

1. Вычислите: а) arcsin(-1) б) arccos в) arcsin 2 г) arctg 1 д) arccos е) arсtg (не существует);

• • Назовите основные типы и методы решения тригонометрических уравнений Введение новой переменной. Разложение на множители. Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени. Деление обеих частей уравнения на cos 2(mx) для однородных уравнений второй степени.

Решите уравнения а) sin 2 x + 4 cos x = 2, 75; решение б) tg x + 3 ctg x = 4; решение в) 2 sin х · cos х - cos 2 x = 0; решение г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2. решение

а) sin 2 x + 4 cos x = 2, 75; 1 – cos 2 x + 4 cos x = 2, 75; Пусть cos x = t, │t│≤ 1, тогда t 2 – 4 t + 1, 75 = 0; D = 16 - 4· 1, 75 = 16 – 7 = 9; Вернёмся к исходной переменной:

б) tg x + 3 ctg x = 4; Пусть tg x = t, тогда t 2 – 4 t + 3 = 0; По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a+b+c = 0): Вернёмся к исходной переменной:

в) 2 sin х · cos х - cos 2 x = 0; cos х(2 sinx – cosx) = 0;

г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2; 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2 cos 2 x + 2 sin 2 x; 3 sin 2 x + sin х · cos х – 4 cos 2 x = 0; 3 tg 2 x + tg х – 4 = 0; Пусть tg x = t, тогда 3 t 2 + t – 4 = 0; По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a+b+c = 0): Вернёмся к исходной переменной:

Домашняя работа • Выучить формулы • Решить уравнение различными способами sin 6 x + sin 3 x = 0 sin 2 x + cos 2 x = 1

sin 6 x + sin 3 x = 0, 2 sin 3 x cos 3 x + sin 3 x = 0, sin 3 x ( 2 cos 3 x + 1 ) = 0, sin 3 x =0 , 2 cos 3 x + 1 = 0, 3 x = n, n Z, cos 3 x = -½, x = n/3, n Z , x = ± 2 /9 + 2 n /3, n Z. Ответ: x = n/3, n Z; x = ± 2 /9 + 2 n /3, n Z. Способ: разложение левой части уравнения на множители 16

sin 6 x + sin 3 x = 0, 2 sin 9 x/2 cos 3 x/2 = 0 , sin 9 x/2=0 , cos 3 x /2 = 0, 9 x/2 = n, n Z, 3 x /2 = /2 + n, n Z, x = 2 n/9, n Z; x = /3 + 2 n/3, n Z. Ответ: x = 2 n/9, n Z; x = /3 + 2 n/3, n Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение 17

sin 2 x + cos 2 x = 1, разделим обе части уравнения на 2, 1/ 2 sin 2 x + 1/ 2 cos 2 x = 1/ 2 , cos /4 sin 2 x + sin /4 cos 2 x = 1/ 2, sin (2 x + /4 ) = 1/ 2, 2 x + /4 = (- 1)k /4 + k, k Z, 2 x = - /4 + (- 1) k /4 + k, k Z, x = - /8 +(- 1)k /8 + k/2, k Z. Ответ: x = - /8 +(- 1)k /8 + k/2, k Z. Способ: Введение вспомогательного угла 19

sin 2 x + cos 2 x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x = n, n Z, tg x = 1, x = /4 + n, n Z. Ответ: n, n Z, x = /4 + n, n Z. Способ: Приведение уравнения к однородному. 20

sin 2 x + cos 2 x = 1, sin 2 x + sin ( /2 – 2 x ) = 1, 2 sin /4 cos ( 2 x - /4 ) = 1, sin /4 = 1/ 2 , 2 cos ( 2 x - /4 )= 1 arсsin (1 / 2 ) = /4. cos ( 2 x - /4 )= 1 / 2 , 2 x - /4 = arсcos (1 / 2 ) + 2 n, n Z, 2 x= /4 arсcos( 1 / 2 ) + 2 n, n Z, x= /8 + n, n Z. Ответ: x= /8 + n, n Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение 21

sin 2 x + cos 2 x = 1, sin 2 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 22 x = 1, 2 sin 2 x cos 2 x + 1 = 1, 2 sin 2 x cos 2 x = 0, sin 2 x = 0, cos 2 x = 0 , 2 x = n, n Z ; 2 x = / 2 + 2 n , n Z, x = n/2, n Z ; x = / 4 + n , n Z. Ответ: / 2 + 2 n , n Z; x = / 4 + n , n Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат 22