Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве b a а b М а II b b b a a а b

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. a b М

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой. IIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIII

a b

Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые.

Каково взаимное положение прямых 1) AD 1 и МN; 2) AD 1 и ВС 1; 3) МN и DC? B 1 С 1 А 1 D 1 В С M А N D

Признак скрещивающихся прямых. a b • Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Признак скрещивающихся прямых. D a Дано: АВ А АВ. Доказать: АВ С α, СD ∩ α = С, С СD В Доказательство: b Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β. α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т. к. прямая СD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с СD. Ч. т. д.

Докажите, что прямые 1) AD и C 1 D 1; 2) A 1 D и D 1 C; 3) AB 1 и D 1 C B 1 С 1 А 1 D 1 В С M А N D скрещивающиеся.

1. Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В B 1 A 1 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С? A C 1 D 1 B C D

Теорема: • Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ СD. Построить α: АВ α, СD || α. C Доказать, что α – единственная. В 1. Через точку А проведем прямую А АЕ, АЕ || СD. 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость. Е 3. Доказательство: α – единственная. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD. D

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой. IIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIII

a b

Задача. • Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b. Построение: b 1. Через точку К провести а прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b. а 1 К b 1 3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

№ 34 Дано: D АМ = МD; ВN = ND; CP = PD D M А (АВС), К ВN. Определить взаимное расположение прямых: P N а) ND и AB б) РК и ВС в) МN и AB С К Р 1 В

Дано: D АМ = МD; ВN = ND; CP = PD D M А (АВС), P N К ВN. Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) МN и AB С г) МР и AС д) КN и AС е) МD и BС

№ 93 N Дано: a || b М MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b. Скрещивающиеся. a b

Домашнее задание • п. 7 признак и теорема с док-вами • № 35; 36; 37