Транспортные задачи с неправильным балансом Встречаются ТЗ

Транспортные задачи с неправильным балансом • Встречаются ТЗ открытого типа, с неправильным балансом. Баланс может нарушаться в двух направлениях. 1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок: 2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы

Рассмотрим случай ТЗ с избытком запасов • Требуется найти такой план перевозок, чтобы При этом, некоторые условия – равенства ТЗ превращаются в условия неравенства, а некоторые – остаются равенствами Для решения надо задачу привести к правильному балансу. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения B 1, B 2, …, Bn вводится еще один, фиктивный - Bф , которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

Ситуация ТЗ с избытком заявок • Количество имеющихся запасов недостаточно для удовлетворения всех заявок Требуется составить такой план перевозок, при котором все запасы окажутся вывезенными, а стоимость перевозок минимальной. Вводится фиктивный пункт отправления с Аф с запасом aф и стоимостью перевозок Сфj =0. При этом какая-то часть заявок Хфj остается неудовлетворенной

Пример. Решим ТЗ с избытком запасов 1 2 3 ai 1 5 7 6 50 2 6 6 5 40 3 8 4 5 20 18 21 33 110 /72

Введем фиктивную пункт назначения Bф с заявкой вф=38 B 1 A 2 A 3 bj 5 B 2 5 18 7 B 3 7 21 4 6 6 Bф 6 1 0 5 0 0 11 6 6 5 12 4 8 ai 6 4 18 5 5 0 0 21 18 21 33 7 6 0 40 – 1 20 – 1 38 5 50 1 L=413

Окончательно B 1 A 2 A 3 5 B 2 5 6 L=341 B 3 7 5 B 4 6 18 0 ai 0 32 5 6 6 6 1 3 8 5 5 33 4 4 0 0 7 3 5 0 0 20 bj 18 21 33 38 Bj 5 6 5 0 αi 50 0 40 0 20 -2

Рассмотрим ТЗ по критерию времени • Иногда при перевозках важнее является время доставки грузов, а не стоимость. Например, перевозки скоропортящихся продуктов, боеприпасов и т. д. Наилучшим планом перевозок считается тот план, при котором • В матрице перевозок вместо стоимостей перевозок задается время tij • Так как все перевозки заканчиваются в тот момент, когда заканчиваются самая длительная из перевозок, то время Т есть максимальное из всех времен tij , • – для всех • Необходимо найти такой план перевозок, чтобы. • Для решения задачи используется «метод запрещенных клеток» .

Пример. Запретим клетки с Т=11, 10, 9, 8 A 1 B 1 10 x B 2 B 3 8 x B 4 5 αi 6 7 6 9 25 - 6 A 2 14 15 4 8 7 A 3 21 x + 11 4 5 A 4 x 23 Bj 21 37 40 5 B 5 6 + 5 x 8 5 6 - 15 8 9 x x 11 15 25 34 42 23

Тmin = max(5, 6, 6, 6, 4, 7, 5, 4) = 7 A 1 B 1 10 x A 4 Bj B 3 8 x 5 A 2 A 3 B 2 14 21 11 21 6 7 9 6 6 4 23 37 αi + 6 11 7 8 9 8 x x 5 B 5 25 6 4 B 4 5 40 x 5 - 15 8 9 x x 11 15 25 34 42 23

Задача о назначениях Имеется m групп людей (станков) численностью которые должны выполнять n видов работ (операций) объемом. Известна производительность каждой i-й группы людей (станков) при выполнении каждого j-го вида работ (операций). Требуется так распределить людей (станков) для выполнения работ (операций), чтобы суммарный объем производства работ (операций) был максимальным.

Математическая модель • Пусть xij – число людей (станков) i-й группы, занятых j-м видом работ (операций). Составим математическую модель. Если нужно получить минимум

Задача распределения n – работников на n – работ 1 1 2 3. . . n 2 3 … n c 11 c 21 c 31 … Cn 1 c 12 c 22 c 32 … Cn 2 c 13 c 23 c 33 … Cn 3 … … … c 1 n c 2 n c 3 n … Cnn Цель задачи – найти оптимальное (минимальной стоимости) распределение работников по всем заявленным работам. Коэффициент cij равен стоимости назначения i работника на j работу.

Назначение работников если i-тый работник назначается на j-ю работу иначе ;

Венгерский метод Алгоритм 1. В исходной матрице стоимостей определим в каждой строке минимальную стоимость и отнимем ее от других элементов строки. 2. В матрице полученной на 1 шаге найдем в каждом столбце минимальную стоимость и отнимем ее от других элементов столбца. 3. Оптимальному назначению будут соответствовать нулевые элементы, полученные на предыдущем шаге.

Пример. Пусть имеются три вида работ УК-уборка квартиры, УГ – уборка гаража и ММ – мойка машины. Детей ( Диму, Машу и Сашу) спросили какие виды работ они бы предпочли с указанием стоимости работ. Дима УK 15 УГ 10 ММ 9 P 1=9 Маша 9 15 10 P 2=9 Саша 10 12 8 P 3=8

УK УГ ММ 1 6 1 0 2 0 6 1 3 2 4 0 q 1=0 q 2=1 q 3=0

УK УГ ММ 1 6 0 0 2 0 6 1 3 2 3 0 Таким образом, Маша предпочла УК, Дима - УГ, а Саша – ММ. При этом стоимость работ составит: (p 1+p 2+p 3) + (q 1+q 2+q 3)=(9+9+8) + (0+1+0)=27

Пример. Пусть имеется 4 вида работ и 4 работника. Попытаемся провести распределение. 1 1 1 2 4 3 6 4 3 P 1=1 2 9 7 10 9 P 2=7 3 4 5 11 7 P 3=4 4 8 7 8 5 P 4=5

1 2 3 4 1 0 3 5 2 2 2 0 3 2 3 0 1 7 3 4 3 2 3 0 q 1=0 q 2=0 q 3=3 q 4=0

1 2 3 4 1 0 3 2 2 0 0 2 3 0 1 4 3 2 0 0 В последней матрице мы не получили однозначного распределения. Тогда проблема решается следующим образом.

Алгоритм • Если не получено допустимое решение, то в последней матрице нужно вычеркнуть минимальное количество нулей по вертикали и горизонтали с тем, чтобы вычеркнуть все нулевые элементы. • Далее найдем наименьший не вычеркнутый элемент и вычтем его из всех не вычеркнутых элементов, но прибавим его к элементам, стоящим на пересечении линий. • Если новое расположение нулевых элементов не позволяет построить относительное решение, то повторяем шаг 2.

1 2 3 4 1 0 3 2 2 0 0 2 3 0 1 4 3 2 0 0 Минимальный элемент равен 1. Вычтем его из всех не вычеркнутых элементов и прибавим к элементам, стоящих на пересечении линий. Получим

1 2 3 4 1 0 2 3 0 0 3 2 4 4 3 0 0 Стоимость работ составит: (1+7+4+5) + (0+0+3+0) + (1) = 21

Thank You