Транспортные задачи модели Транспортные модели описывают перемещение перевозку

Транспортные задачи (модели) Транспортные модели описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (ПО) в пункт назначения (ПН). В качестве ПН могут быть магазины, рынки, склады и т. д. Назначение транспортной задачи – определение объемов перевозок из ПО в ПН с минимальной суммарной стоимостью перевозок.

Математическая модель • A 1, A 2, … , Am – m Пунктов отправления (ПО) • a 1, a 2, … , am - количество товаров • B 1, B 2, … , Bn - n Пунктов назначения (ПН) • b 1, b 2, … , bn, - заявки на товары Cij – стоимость перевозок задана

Ограничения • 1. Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это дает m условий равенств. 2. Суммарное количество груза, доставляемое в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно заявке. Это дает n условий равенств

Решение • 3. Суммарная стоимость всех перевозок Это типичная задача линейного программирования

Виды моделей • ТМ могут быть закрытыми или открытыми • Закрытая модель – это модель, в которой суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей. • В противном случае модель наз. открытой

Таблица перевозок B 1 A 2 A 3 bj B 2 C 11 X 11 - C 12 X 12 C 21 X 21 - X 13 X 22 X 14 X 23 C 24 X 24 C 33 X 33 aj C 14 C 23 C 32 X 32 B 4 C 13 C 22 C 31 X 31 B 3 C 34 X 34

Методы решения: • • • Метод северо-западного угла. Метод наименьшей стоимости. Метод штрафных функций. Метод циклических перестановок. Метод потенциалов.

Метод северо-западного (С-З) угла 1. 2. 3. Выбираем переменную Х 11 в верхнем левом углу матрицы и присваиваем ей максимальное значение, допустимое по спросу или предложению. Вычеркивается строку (или столбец) с полностью реализованным предложением (или с удовлетворенным спросом). Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец, процесс останавливается. В противном случае переходим к ячейке справа, если вычеркнут столбец, или к нижележащей ячейке, если вычеркнута строка. Затем возвращаемся к первому шагу.

Пример B 1 A 1 10 5 - B 4 20 11 7 9 20 - 4 15 5 14 18 18 10 5 aj 10 5 A 3 B 3 2 12 A 2 bj B 2 15 15 15 25 10 15 у. е.

Метод наименьшей стоимости B 1 10 A 1 bj B 3 B 4 2 20 11 7 9 20 15 12 A 3 B 2 15 4 14 10 18 5 18 5 5 15 15 aj 15 25 10 15 L=15· 2+5· 4+15· 9+5· 18+10· 20=475 у. е.

Метод штрафных функций (Фогеля) 1. 2. 3. Для каждой строки (столбца) вычисляется штраф путем вычитания наименьшей стоимости из следующей по величине стоимости в данной строке (столбце) Выделяется строка или столбец с наибольшим штрафом. Если таких несколько выбор произволен. В матрице находится элемент, которому соответствует минимальная стоимость. Ему присваивается наибольшее значение по спросу (или предложению). Далее все корректируется. Строка или столбец, соответствующие выполненному ограничению по спросу (или предложению) вычеркиваются. Среди оставшихся ячеек снова пишется штраф и т. д. Если в результате останется одна строка (столбец) с нулевым спросом или предложением, вычисления заканчиваются.

B 1 A 2 A 3 B 2 B 3 B 4 10 12 2 7 9 20 14 18 18 4 5 15 10 -2=8 25 9 -7=2 10 14 -4=10 11 Штраф1 20 aj bj 5 15 15 15 Штраф 1 10 -4=6 7 -2=5 16 -9=7 18 -11=7

B 1 A 2 A 3 bj Штраф1 Штраф2 B 2 10 2 15 12 15 20 10 18 aj 11 9 14 B 4 20 7 4 5 B 3 18 5 5 15 10 -4=6 7 -2=5 18 -9=9 Штраф2 Штраф3 15 10 -2=8 11 -2=9 20 -11=9 25 9 -7=2 20 -9=11 10 14 -4=10 16 -14=2 18 -16=2 18 -11=7 7 -2=5 Штраф1 18 -11=7 L=15· 2+15· 9+10· 20+ 5· 4 + 5· 18=475 у. е.

Улучшение плана перевозок путем циклических перестановок • Циклом в транспортных задачах, представленных в виде таблицы, называют несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90 градусов. Каждый цикл имеет четное число вершин. Знаком «+» отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком «-» те вершины, в которых они уменьшаются. • Циклы с отмеченными вершинами называются «означенными» . По означенному циклу производят переброску груза с целью оптимизации перевозок.

В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 ai A 1 +C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 a 1 A 2 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 a 2 A 3 - C 31 C 32 C 33 + C 34 C 35 a 3 A 4 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 a 4 A 5 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 a 5 bj b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 -

Цена цикла •

Пример B 1 A 2 10 5 B 3 B 4 aj 2 20 11 7 9 20 10 12 + 5 15 4 A 3 bj B 2 5 14 18 18 10 5 L 1=520 у. е. 15 15 25 10

Цикл B 1 A 2 10 5 - B 3 B 4 aj 2 20 11 7 9 20 10+ 12 + 5 - 15 4 A 3 bj B 2 5 14 18 18 10 5 15 15 Y=12 – 10 + 2 - 7= -3 L 2=520 – (3 x 5) = 505 15 15 25 10

Второй цикл B 1 10 A 1 A 2 A 3 bj B 2 B 3 aj B 4 2 20 11 7 9 20 15 12 -5 15 4 5+ 14 18 + 18 10 - 5 15 15 Y = 4 – 12 + 20 – 18 = -6 L 3 = 505 – (6 x 5) = 475 у. е. 15 15 25 10

Thank you