Транспортная задача Транспортная задача линейного программирования получила

Транспортная задача

Транспортная задача линейного программирования получила в настоящее время широкое распространение в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно большое значение она имеет в деле рационализации поставок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Формулировка транспортной задачи Пусть имеется m поставщиков (A 1, A 2, …, Am) с количеством продукции a 1, a 2, …, am и n потребителей этой продукции (B 1, B 2, …, Bn) с потребностью b 1, b 2, …, bn. Пусть известны цены доставки cij от Ai поставщика к Bj потребителю, требуется составить оптимальный план распределения имеющихся ресурсов, при котором суммарная стоимость доставки будет наименьшей.

b 1 = 150 b 2 = 150 b 3 = 300 a 1 = 100 2 1 2 a 2 = 200 5 7 6 a 3 = 300 3 2 5

Пример решения транспортной задачи методом потенциалов

1. Проверяем открытая или закрытая транспортная задача. Транспортная задача называется закрытой, если количество груза у поставщиков совпадает с количеством груза у потребителей. Открытая задача в противном случае. Если задача открытая, то сводим её к закрытой, добавляя фиктивного потребителя, в количестве груза bn+1 = ai - bj. И наоборот, если количество на складе меньше, то вводим фиктивный склад в количестве груза am+1 = bj - ai. При этом стоимости доставки из фиктивных пунктов или в фиктивные пункты ставятся больше всех стоимостей.

2. Строим 1 -ое опорное решение (например, методом наименьших стоимостей). b 1 = 150 b 2 = 150 b 3 = 300 a 1 = 100 2 a 2 = 200 5 a 3 = 300 3 150 v 1 1 100 2 u 1 7 v 2 6 u 2 2 50 200 100 5 u 3 v 3

Метод потенциалов

3. Проверяем 1 -ое опорное решение на оптимальность методом потенциалов. Для этого i-ому поставщику присваиваем потенциал ui, j-ому потребителю потенциал vj, количество заполненных клеток должно быть равно m+n-1. Если не достаёт заполненных клеток, то в одну из пустых клеток вводим нулевую поставку груза. Для заполненных клеток выполняем соотношение ui + vj =cij. u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 3 = 6 u 3 + v 1 = 3 u 3 + v 2 = 2 u 3 + v 3 = 5 Для разрешения системы один из потенциалов принимаем равным 0. u 1 = 0 v 1 = 2 u 2 = 2 v 2 = 1 u 3 = 1 v 3 = 4

Для выполнения оптимальности плана необходимо выполнение условия: - подсчитываются оценки ij свободных клеток, ij = cij – (ui + vj); - если все ij 0, то план оптимален; - если существуют ij < 0, то необходимо улучшить 1 -ый опорный план, перераспределив поставки. 11 = 2 – (0 + 2) = 0 13 = 2 – (0 + 4) = -2 < 0 21 = 5 – (2 + 2) = 1 > 0 22 = 7 – (2+ 1) = 4 > 0 Вывод: 1 -ый план не является оптимальным.

Для улучшения опорного плана найдём клетку с наибольшим по абсолютной величине отрицательной ij ( 13) и составим цикл перераспределения (многоугольник, стороны которого параллельны сторонам таблицы, могут самопересекаться в незаполненных клетках) по следующему правилу: - вершинами цикла являются найденная пустая клетка ( 13), все остальные клетки – занятые; - в построенном цикле у пустой клетки ставим знак «+» , далее знаки чередуем; - среди всех отрицательных клеток выбираем клетку с наименьшим количеством груза, это количество добавляем в клетки со знаком «+» и вычитаем из клеток со знаком «-» . После перераспределения груза строим новую транспортную таблицу и записываем с найденным решением.

-100 +50 +O -100 0 150 100 O

b 1 = 150 b 2 = 150 b 3 = 300 a 1 = 100 2 a 2 = 200 5 a 3 = 300 3 150 v 1 1 100 2 u 1 7 0 200 6 u 2 5 u 3 2 150 v 2 v 3

Проверяем 2 -ое опорное решение на оптимальность методом потенциалов. u 1 + v 2 = 1 u 1 + v 3 = 2 u 2 + v 3 = 6 u 3 + v 1 = 3 u 3 + v 2 = 2 u 1 = 0 v 1 = 2 u 2 = 4 v 2 = 1 u 3 = 1 v 3 = 2 11 = 2 – (0 + 2) = 0 21 = 5 – (4 + 2) = -1 < 0 22 = 7 – (4+ 1) = 2 > 0 33 = 5 – (1 + 3) = 2 > 0 Вывод: 2 -ий план не является оптимальным.

-0 +100 +O -200 +150 -150 O 100 0 150 200 150

b 1 = 150 b 2 = 150 b 3 = 300 a 1 = 100 2 1 100 2 u 1 7 200 6 u 2 5 u 3 a 2 = 200 0 5 a 3 = 300 150 3 v 1 2 150 v 2 v 3

Проверяем 3 -ье опорное решение на оптимальность методом потенциалов. u 1 + v 3 = 2 u 2 + v 1 = 5 u 2 + v 3 = 6 u 3 + v 1 = 3 u 3 + v 2 = 2 u 1 = 0 v 1 = 1 u 2 = 4 v 2 = 0 u 3 = 2 v 3 = 2 11 = 2 – (0 + 1) = 1 > 0 12 = 1 – (0 + 0) = 1 > 0 22 = 7 – (4 + 0) = 3 > 0 33 = 5 – (2 + 2) = 1 > 0 Получили оптимальное решение.

x 11 = 0 x 12 = 0 x 13 = 100 x 21 = 0 x 22 = 0 x 23 = 200 x 31 = 150 x 32 = 150 x 33 = 0 L(x) = 100*2 + 0*5 + 200*6 + 150*3 + 150*2 = 2150 (у. е. )