Типы заданий В 8 1 Производная и касательная

Типы заданий В 8 1) Производная и касательная, геометрический смысл производной 2) Физический смысл производной 3) Применение производной к исследованию функции по данным графика (промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции – максимум и минимум)

С чего нужно начинать решать задание В 8? Прочитать задание и узнать какой график изображён на бланке: график функции или график производной функции

1 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. 1). Угол, который составляет касательная с положительным Решение: направлением оси Ох, тупой. Значит, значение производной в точке х0 тупой отрицательно 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подойдет. Можно найти несколько удобных треугольников с целочисленными 8 катетами, например, …. tga = 2 Еще удобный треугольник… a 3). Найдем тангенс угла – это отношение 4: 1. Тангенс тупого, смежного угла равен – 4. В 8 - 4 3 10 х х у х0 a х 1 O -3 8 a a -7 2 у =f(x)

2 способ В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. Решение: Уравнение прямой у = kx + b. b В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f/(xo)=k k=tgα у = kх + b у у =f(x) Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. – 7 = b. – х – 3 = – 1 k + b. х0 – 4 = k O (-1; -3) -3 k = – 4 Систему можешь решить и своим способом. В 8 - 4 3 10 х х (0; -7) -7

1 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. Решение: 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в у точке х0 положительно 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. 3 Можно найти несколько удобных 12 х треугольников, например, …. a O 1 х0 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3: 12. 3 tga = 12 4). Переведем дробь 1 в десятичную запись: 4 В 8 0 , 25 3 10 х у =f(x) х

2 способ В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. Решение: Уравнение прямой у = kx + b. b В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f/(xo)=k k=tgα у = kх + b у Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. 2 = – 5 k + b. 5 = 7 k + b. – (7; 5) (-5; 2) х O – 3 = – 12 k = 3 х0 : 12 k = 3 12 В 8 1 0 , 25 3 10 х х у =f(x) 3 tga = 12

1 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. 1). Угол, который составляет касательная с положительным Решение: направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х0 отрицательно у 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например, …. a a 3). Найдем тангенс угла – это отношение 1: 4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0, 25. В 8 - 0 , 2 5 3 10 х х tga 1 a 2 = 8 у =f(x) 1 O a 8 х0 х 2

2 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. Решать подобные задания можно другим способом. Решение: Уравнение прямой у = kx + b. b В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f/(xo)=k k=tgα у у = kх + b Подставим координаты известных точек в уравнение прямой. – 3 = 6 k + b. – 1 = – 2 k + b. – 2 = 8 k – 1 O (-2; -1) : 8 1 k = – 4 В 8 у =f(x) - 0 , 2 5 3 10 х х х0 х (6; -3)

1 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. 1). Угол, который составляет касательная с положительным Решение: направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х0 отрицательно у 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например, …. 2 8 O a 3). Найдем тангенс угла – это отношение 1: 4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0, 25. В 8 - 0 , 2 5 3 10 х х tga у =f(x) 2 = 8 1 1 a х0 х

2 способ На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0. Выполни решение вторым способом. Решение: у O В 8 - 0 , 2 5 3 10 х х у =f(x) 1 х0 х

На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 – f/(x) f(x) -5 y = f /(x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 0 Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции). + + 1 2 3 4 5 6 7 – x 3 6 x

По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 x 4 точки экстремума, ü 0 + 3 – + ü 8 6 Ответ: 2 точки минимума x

Пример Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; – 1] y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 ü f/(x) -8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Ответ: xmax = – 5 + 3 – + 8 6 x

Пример Найдите количество точек экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 3; 7] y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x) -8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Ответ: 3. + 3 – + 8 6 x

Пример Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 В точках – 5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки x включаем. Ответ: (– 8; – 5], [ 0; 3], [ 6; 8) + 3 – + 8 6 x

Пример Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 В точках – 5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки x включаем. (– 8; – 5], [ 0; 3], [ 6; 8) Сложим целые числа: -7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7 + 3 – Ответ: 1 + 8 6 x

Пример Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них. y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Ответ: 5. + 3 – + 8 6 x

Пример В какой точке отрезка [– 4; – 1] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x На отрезке [– 4; – 1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4. Ответ: – 4. + 3 – + 8 6 x

Пример В какой точке отрезка [– 4; – 1] функции у =f (x) принимает наименьшее значение? y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x На отрезке [– 4; – 1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1. Ответ: – 1. + 3 – + 8 6 x

Пример В какой точке отрезка [ 0; 3] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x На отрезке [ 0; 3] функция у =f (x) возрастает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х=3. Ответ: 3. + 3 – + 8 6 x

Пример В какой точке отрезка [ 1; 4] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 f/(x)-8 + -5 f(x) – y = f /(x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 0 Наибольшее значение на отрезке [ 1; 4] функция у =f (x) будет принимать в точке максимума х=3. 1 2 3 4 5 6 7 x Ответ: 3. + ü– 3 + 8 6 x

Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение. a 1 2 Не верно! 2 -2 Не верно! y = f /(x) хmax = 1 В этой точке функция у =f(x) примет наибольшее значение. 3 -4 4 1 Не верно! -4 -3 -2 -1 1 2 3 Верно! Проверка (2) f/(x) f(x) -4 + ü– 1 3 4 5 х

Функция у = f(x) определена на интервале (- 5; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция у = f(x) принимает наименьшее значение. y хmin = 2 a Верно! 1 2 Не верно! 2 0 В этой точке функция у =f(x) примет наименьшее значение. y = f /(x) 3 -5 4 -3 Не верно! -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 х Не верно! Проверка (2) f/(x) f(x) -5 – ü+ 2 4

На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек максимума. y 1 2 7 3 3 8 Не верно! Верно! Не верно! 4 4 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 ü ü y = f /(x) x 1 2 3 4 5 6 7 ü – + + – f/(x) – + 3 4 7 -5 -4 -2 1 f(x) Проверка (2)

На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. y y = f /(x) 4 Не верно! 3 1 3 2 2 3 1 2 1 Не верно! Верно! Не верно! 4 4 Проверка (2) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f/(x) f(x) x 1 2 3 4 5 6 7 – + 1 + 4

На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. y y = f /(x) 4 1 2 5 2 3 1 3 2 1 Не верно! Верно! Не верно! -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 x 1 2 3 4 5 6 7 Не верно! 4 4 Проверка (2) f/(x) f(x) + ü– ü + -5 -2

В. На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке [-5; 5]. Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите наибольшую точку максимума. Из двух точек максимума наибольшая хmax = 3 Не верно! 1 y = f /(x) 5 Верно! 2 3 + - -4 -3 -2 -1 1 + 2 3 - 4 Не верно! 3 2 4 4 ü ü Не верно! /(x) - + - + f f(x) -4 -2 0 3 4 +х 5

На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 7). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. y y = f /(x) 4 1 2 8 4 3 2 1 Не верно! Верно! -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 Не верно! 4 1 f/(x) f(x) Проверка (2) + x 1 2 3 4 5 6 7 ü – ü + ü– ü + 1 3 5 6

Функция у = f(x) определена на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. y 4 3 2 1 Верно! 1 8 Не верно! 2 6 3 4 4 9 Не верно! Проверка (2) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y = f /(x) -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 – f/(x) IIIIIIIIIIIIIIIIIII + 3 2 f(x)-6 x