Типовые динамические звенья Передаточная функция системы

Типовые динамические звенья

Передаточная функция системы • в общем виде где a 0, a 1, …, an; b 0, b 1, …, bm – постоянные коэффициенты. Такую форму записи передаточной функции называют полиномиальной.

Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, обозначим их zj , j=1, 2, …m; корни полинома знаменателя называют полюсами, обозначим их pi, i=1, 2, …, n, т. е. число корней числителя m, число корней знаменателя n

Передаточную функцию можно представить в следующей форме, которую в отличие от полиномиальной, называют факторизованной

Если все полюсы вещественные отрицательные, то знаменатель передаточной функции представляет собой произведение сомножителей (Ts+1); если корни знаменателя комплексные сопряженные, то это соответствует сомножителям (T 2 s 2+2ξTs+1), 0≤ξ<1, нулевому полюсу соответствует сомножитель s. Аналогично и числитель можно разложить на элементарные сомножители

Любую передаточную функцию можно представить как последовательное соединение типовых звеньев

Количество типовых звеньев невелико и определяется типом нулей и полюсов. Типовым называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

Типы звеньев • Усилительное • Интегрирующее • Дифференцирующее • Апериодическое первого порядка • Звенья второго порядка – колебательное, апериодическое второго порядка, консервативное • Форсирующее первого порядка • Форсирующее второго порядка

Усилительное звено • Усилительным называется звено, у которого выходной y(t) сигнал пропорционален входному x(t), т. е. y(t)=kx(t). • Передаточная функция W(s)=Y(s)/X(s)=k • Переходная характеристика h(t)=k, т. е. в любой момент времени сохраняется пропорциональная зависимость между выходом и входом

x(t) 1 t а) h(t) k t b) a) – входной сигнал; b) – переходная характеристика Рисунок 1

Импульсная переходная функция Сигнал на входе x(t)=δ(t) – единичный импульс x(t)=0 t≠ 0 x(t)=∞ t=0 Сигнал на выходе у(t)=ω(t) =kδ(t)

Частотные функции Частотная передаточная функция Амплитудная частотная функция Фазовая частотная функция

Логарифмическая амплитудная частотная функция Логарифмическая фазовая частотная функция

Амплитудная частотная характеристика k

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Амплитудно-фазовая частотная характеристика k

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика 20 lgk

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Интегрирующее звено • Уравнение, преобразованное по Лапласу • Передаточная функция

Временные функции • Переходная функция • Весовая функция

Переходная характеристика

Импульсная переходная (весовая) характеристика

Частотные функции • Частотная передаточная функция

Амплитудная частотная функция (АЧФ)

Фазовая частотная функция (ФЧФ)

Логарифмическая амплитудная частотная функция (ЛАЧФ)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика V(ω)→ 0 ω→∞ V(ω)→-∞ ω→ 0

Амплитудная частотная характеристика

Фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика -20 д. Б/дек

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Выводы • Амплитуда выходного сигнала интегратора уменьшается с увеличением частоты. • Фазовый сдвиг не зависит от частоты и равен – 90 град, или –π/2 рад. • ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном -20 д. Б/дек, проходящую через точку с координатами [1, 20 lgk] • На частоте ω=k ЛАЧХ пересекает ось частот, т. е. L(k)=0

Дифференцирующее звено • Уравнение • Изображение по Лапласу • Передаточная функция

Временные функции • Переходная функция • Весовая функция

Частотные функции • Частотная передаточная функция • Вещественная частотная функция • Мнимая частотная функция

Амплитудная частотная функция

Фазовая частотная функция

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная частотная функция

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Выводы • Амплитуда выходного сигнала дифференцирующего звена увеличивается с увеличением частоты от 0 до ∞. • Фазовый сдвиг не зависит от частоты и равен 90 град, или π/2 рад. • ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном +20 д. Б/дек, проходящую через точку с координатами [1, 0]

Апериодическое звено первого порядка (инерционное) • Дифференциальное уравнение • Преобразование по Лапласу • Передаточная функция

Переходная функция • Решение уравнения звена при нулевых начальных условиях и x(t)=1(t)

Переходная характеристика Т

Анализ переходной характеристики • h(t) апериодически стремится к установившемуся значению, равному входному сигналу, увеличенному в k раз. • Постоянная времени характеризует инерционность звена • Проекция касательной, проведенной из начала координат, отсекает на линии установившегося значения отрезок, равный постоянной времени Т. • За время t=3 T переходная характеристика достигает значения 0, 95 k

Импульсная переходная (весовая) функция Сигнал на входе x(t)=δ(t) – единичный импульс x(t)=0 t≠ 0 x(t)=∞ t=0 Сигнал на выходе у(t)=ω(t) Изображение импульсной переходной функции Весовая функция

Импульсная переходная характеристика k/T

Частотные функции Частотная передаточная функция

Амплитудная частотная функция ω 0 0, 5/T 1/T 2/T ∞ А(ω) k 0, 894 k 0, 707 k 0, 447 k 0

Амплитудная частотная характеристика

Фазовая частотная функция ω 0 0, 1/Т 0, 5/Т 1/Т 2/Т ∞ φ(ω), 0 -5, 71 -26, 56 -45 -75, 96 -90 град

Фазовая частотная характеристика

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная частотная функция Асимптотическая ЛАЧХ Логарифмическая фазовая частотная функция

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Колебательное звено • К колебательным звеньям относятся такие устройства, в которых выходная величина после подачи единичного ступенчатого воздействия стремится к установившемуся значению, совершая колебания • Такие устройства должны содержать два элемента, способные запасать энергию или вещество и обмениваться этими запасами через третий элемент, создающий сопротивление протеканию энергии или вещества.

Дифференциальное уравнение колебательного звена

Параметры колебательного звена • k – коэффициент усиления, определяющий установившееся значение выходной величины • Т – постоянная времени, с • ξ – коэффициент демпфирования, от которого зависит затухание колебаний. • Колебательному звену соответствует 0<ξ≤ 1. При этом переходный процесс имеет вид затухающих колебаний. • Если 1<ξ, звено называется апериодическим второго порядка. Выходная величина асимптотически приближается к установившемуся значению. • ξ =0 – переходный процесс колебательный незатухающий. В этом случае звено называется консервативным

Передаточная функция колебательного звена • Преобразуем уравнение звена по Лапласу при нулевых начальных условиях • Передаточная функция

Переходная функция • Решение уравнения колебательного звена при x(t)=1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид

где • - коэффициент затухания; • - угловая частота колебаний; • • - фазовый сдвиг

Переходная характеристика колебательного звена А 1 А 2 Тк h(∞)

Определение параметров звена по переходной характеристике • Постоянную времени Т и коэффициент демпфирования ξ можно найти из уравнений :

Влияние коэффициента демпфирования на переходный процесс ξ=0, 25 ξ=0, 5 ξ=0, 95

Весовая функция • Решение уравнения звена при x(t)=δ(t) и нулевых начальных условиях имеет вид:

Импульсная переходная характеристика