Скачать презентацию Технологии принятия решений рассматривают задачи не имеющие строгих
Конспект Биз-Маг1-2014.ppt
- Количество слайдов: 69
Технологии принятия решений рассматривают задачи, не имеющие строгих формализованных постановок. Существуют субъективные (неформализуемые) категории - мнение эксперта. Также к Технологиям принятия решений относятся и количественные технологии, к изучению которых мы переходим. Одна из проблем ТПР – множественность целей, критериев оценки (анализа тех или иных альтернатив). Введение в ТПР 1
Пусть x є Gx - набор альтернатив и имеется I 1(x)…Im(x) – m-критериев для сравнения альтернатив. Будем считать, что все эти критерии на max Ii(x)= x є Gx Будeм считать argmax Im(x)= Введение в ТПР 2
Множество критериев порождают зачастую субъективность при сравнении. Человек принимающий решение не может оперировать множеством признаков, критериев и естественно упрощает задачу многокритериальную и сводит множество критериев к одному. Этот приём носит название свёртки критериев. Вместо m критериев вводится один: сi - веса ( частные производные свёртки по i-ому критерию), т. е. сi показывает вклад i-ого критерия в общий критерий F(x) или сi - чувствительность F(x) к частному критерию. Чем чувствительность 3 Введение в ТПР. Свертка критериев
• • Линейная свертка в многокритериальной задаче нелинейной оптимизации и метод малого параметра Пусть имеем задачу где - множество альтернатив, тогда линейная свертка имеет вид • » (1) • Введение в ТПР. Свертка критериев 4
• Для простоты будем считать, что в (1) первый критерий является доминирующим или главным, т. е. • • Будем считать, что и • между имеется соответствующая • упорядоченность. Числовые, конкретные значения малого положительного параметра • и множителей соотношений • вводятся с помощью • т. е. в пространстве критериев получаем
• » (2) » 1. Множество Х – открытое множество в » пространстве и все функции-критерии » достаточно гладкие функции своих переменных. » 2. Функция-критерий сильно вогнутая. • Разложим решение и критерий в ряд по целым степеням малого параметра и построим серию задач максимизации для членов разложения. Имеем
» » » (3) (4)
• (5)
• Здесь известная функция своих аргументов. На основе леммы о перестановке операции максимизации с разложением в ряд, при четных степенях параметра здесь последовательно получаются оптимизационные задачи для • и т. д. , а при нечетных степенях параметра получаем известные функции предыдущих приближений. • Из последнего представления получаем, что главный вклад в искомую оптимальную альтернативу вносит решение задачи • (6) • где последнее выражение - главная часть
• Из (5) следует, что для - поправки для альтернативы в первом приближении имеем задачу • т. е.
Субоптимальная альтернатива теперь имеет вид где С>0 - некоторая постоянная, .
• Итак, главная линейная часть поправки в критерии вносит предельная альтернатива (назовем ее базовой), выбранная по главному критерию. Причем эта линейная поправка формируется с помощью значений всех остальных критериев на этой базовой альтернативе. • Действительно, линейная поправка в критерий, в силу необходимых условий оптимальности в базовой задаче, равна • Несмотря на малый вклад в общую эффективность, коррекция (3) может существенно влиять на изменение базовой альтернативы, приближая ее к оптимальной. Базовая альтернатива, с одной стороны, для своего определения не требует учета других критериев, но с другой стороны позволяет определить главную часть влияния на общую эффективность всех остальных критериев вместе и каждого критерия по отдельности. •
• Следующий член в представлении вносит существенно меньший (на порядок по ) вклад в общий критерий эффективности, но формируется на основе определения альтернативы , которая максимизирует квадратичный критерий, порождаемого гессианом базового и градиентами остальных критериев. Т. к. в общем случае базовая альтернатива не является оптимальной для небазовых критериев, величины норм их градиентов говорят о степени пренебрежения базовой альтернативой целей, формируемых небазовыми критериями. Поэтому указанная степень пренебрежения порождает соответствующие изменения базовой альтернативы.
Сравнение норм векторов позволяет говорить о ранжировании небазовых критериев между собой с точки зрения базовой альтернативы и при этом это ранжирование может не совпадать с первоначальным, на основе введенных весов. Иначе говоря, асимптотический анализ линейной свертки последовательно в приближениях воссоздает своеобразный механизм отрицательной обратной связи – происходит учет влияния небазовых критериев, который уменьшает значение базового критерия, или на «ошибку» в предыдущем приближении появляется отрицательная реакция в следующем приближении, сглаживающая ситуацию и таким образом, в линейной свертке многих критериев последовательно учитываются интересы всех сторон в процессе принятия решений.
• Пример. Пусть рассматриваются три задачи максимизации • и для линейной свертки предложены веса • Имеем • • и пусть при этом , тогда
• Необходимые условия оптимальности для точного решения в задаче на максимум линейной свертки (2) имеют вид • т. е. • и оптимальное значение функционала линейной свертки Базовое решение, очевидное
Вычислим градиенты всех частных критериев и гессиан базового критерия. Имеем Далее имеем • • Итак
• Вычисляя • замечаем, что • , т. е. с ростом номера приближения растет точность и при этом значение критерия улучшается почти в два раза.
Использование контрольных показателей Пусть известна для каждого критерия некая нормативная величина. Определим отношение каждого критерия к своему нормативу, просматривая эти отношения для всех альтернатив и для каждого критерия. Затем определим (4 - критерий наихудший из m критериев, он очень близок к нормативу. Мы выбрали критические направления, теперь ищем c тем чтобы найти альтернативу х, которая отодвигает нас максимально от норматива по наихудшему критерию. Введение в ТПР. Использование контрольных показателей. 19
Метод главного критерия Это частный случай свертки критериев, когда некоторое сi =1 , а сk =0 и k=1, . . , m (i k). Результат такой свёртки – выбор одного главного критерия среди m-критериев. Любой из перечисленных приёмов уязвим для критики и в этой ситуации хотелось бы увидеть критерии с разных сторон сравнивая их между собой. Каждой альтернативе х из Gx отвечает точка в mмерном пространстве критериев. Введение в ТПР. Последовательный метод линейной свертки 20
Метод идеальной точки Предположим, что нам известны по каждому из критериев наилучшие альтернативы и соответствующие наилучшие значения всех критериев при однокритериальном подходе. Введём положительно-определённую матрицу R для взвешивания квадратов отклонений всех критериев от своих наилучших значений. Введение в ТПР. Свертка критериев в пространстве 21
Составим общий критерий: введём - вектор текущих критериев. Введем критерий Введение в ТПР. Свертка критериев в пространстве. 22
Парето-оптимальные (эффективные) решения В. Парето предложил свой подход определения лучших альтернатив по многим критериям сразу. Пусть имеем набор альтернатив х и m критериев оценки альтернатив fi (x), i є [1, . . , m] Требуется найти такие альтернативы на которых одновременно (!!!!? ? ) максимизируется mкритериев. Паретооптимальные (эффективные) решения 23
Вообще говоря, как мы уже отмечали, эта задача не разрешима. Можно лишь найти некий вектор x, который в каком-то другом смысле решает эту задачу. Будем считать вектор оптимальным по Парето (эффективным по Парето), если не существует такого, что fi ( ) ≥ fi ( ), i є 1, . , m и при этом хотя бы одно неравенство строгое fi ( ) > fi ( ) Т. е. Парето - оптимальный вектор х* является неулучшаемым, хотя бы по одному критерию. Паретооптимальные (эффективные) решения 24
Пример № 1: Спортивная гимнастика среди мужчин ( 6 дисциплинкритериев, 6 чемпионов по видам). Множество претендентов – все участники. Все участники участвуют во всех дисциплинах. В каждой дисциплине выбирается победитель. Группа из 6 чемпионов по всем видам образует Парето множество, т. к. каждый элемент этого множества спортсменов не является улучшаемым, т. к. среди всех спортсменов не найдётся участников, которые имеют результаты по всем дисциплинам не хуже, а хотя бы по одной дисциплине имеют результат лучше. Паретооптимальные (эффективные) решения. 25
Пример № 2: Пусть имеется 2 критерия по отбору банков: f 1 -доходность f 2 - надёжность Найдём Парето множество на этом множестве всех банков. Паретооптимальные (эффективные) решения 26
В этой задаче иллюстрируется популярный подход проекции на плоскость 2 -х критериев, реальных многокритериальных множеств. Обозначим точками совокупность банков, координаты которых –это заданные значения оценок по критериям f 1 и f 2 Банки, принадлежащие северо-восточной границе множества, несравнимы. Банк B уступает банку А по критерию f 1, но превосходит по f 2. Банк B неулучшаем - в нашем множестве (не найдётся банка, у которого характеристики не хуже, а хотя бы по одному критерию лучше). Банки A, B, C, D, E, (СБ) F принадлежат Парето множеству. Таким образом при выборе банка мы будем оперировать границей A-F , а уже потом на этом множестве естественно склоняться к выбору банков со «средними» характеристиками. Паретооптимальные (эффективные) решения 27
Предположим, что на плоскости 2 -х критериев, граница множества вариантов имеет следующий вид: Найдём Парето множество на этом множестве. Антагонистические матричные игры двух игроков. Гарантирующие стратегии. 28
Принцип оптимальности Нэша Выбор по Парето обладает несомненными очевидными преимуществами (неулучшаемость). Однако, при небольшом «шевелении» данных решение задачи может сильно измениться. Но так как в реальности точного ничего нет, а все приближённо, то желательно иметь выбор устойчивый к возмущениям. Принцип устойчивого выбора– выбор альтернативы должен быть устойчивым к возмущениям. При учете этого принципа выбор может сильно измениться. Джон Нэш предложил определение устойчивого выбора. Устойчивый выбор по Нэшу cвязан с образованием 29 Принцип оптимальности Неша коалиций.
Определение. Пусть на некотором множестве альтернатив имеется выбор Принцип оптимальности Неша 30
Устойчивость равновесия Нэша Равновесие по Нэшу говорит, что одному игроку не выгодно отклоняться от согласованного решения. Это условие устойчивости компромисса. Т. е. условие устойчивости компромисса заключается в том, что, если существует коалиция и она держится соглашения, то тот один, кто нарушает – проигрывает. Но не всякий компромисс устойчив и не всякий оптимальный выбор по Парето устойчивый по Нэшу и наоборот не всякое устойчивое равновесие по Нэшу эффективно по Парето.
Пример (Гермейера) Пусть N – игроков, N - критериев тогда выигрыш каждого fi=1. Итак, здесь все игроки получают по выигрышу равном единице. Оказывается такое решение является оптимальным по Нэшу. Действительно. Принцип оптимальности Неша. Пример 32 Гермермера
Пусть, например, второй игрок отклоняется от оптимального соглашения и выбирает Остальные игроки придерживаются соглашения и выигрывают по (1+дельта). А выигрыш второго игрока уменьшается и составляет 1 -δ, т. е. меньше своего выигрыша, когда он придерживался соглашения и выбирал Итак, при малых положительных δ для предложенной альтернативы выполняется условие оптимальности по Нэшу. Но эта альтернатива неэффективна по Парето. Принцип оптимальности Неша. Пример Действительно Гермермера 33
Возьмём. Тогда выигрыш каждого будет равен fi =N-1, т. е. эта альтернатива является лучшей сразу по всем критериям, чем предыдущее решение, а значит не эффективно по Парето. Пусть теперь все игроки, кроме Одного, придерживаются стратегии , а один отклоняется и тогда для j-го игрока выигрыш составит Выигрыш других игроков будет равен Т. е. решение неулучшаемо или эффективно по Парето, оптимальностирешение не устойчиво по но это Неша. Пример Принцип Нэшу – Гермермера 34
Итак решение устойчиво по Нэшу, но не эффективно по Парето. А решение оптимально по Парето, но не устойчиво по Нэшу. принятия решений, где равновесие Системы одновременно оптимально по Парето и устойчиво по Нэшу – встречаются достаточно редко. Для этого необходим некий объединяющий критерий для игроков. Принцип оптимальности Неша. Пример Гермера 35
Теорема Гермейера-Вателя Пусть имеется общий глобальный критерий для N субъектов и каждый из них имеет свой критерий: - это часть ресурса направляемая i –м игроком на свои интересы, - часть ресурса , который i -ый субъект направляет на общие цели. Теорема Гермейра-Вателя 36
- связывающий критерий, который определяет эффективность расходования средств «из общего котла» . Теорема. Если f и F монотонно возрастающие функции, тогда существуют устойчивые равновесия, среди которых, по крайней мере, одно эффективно по Парето. Вывод: Анализируя интересы группы взаимодействующих субъектов, желательно выделить критерии каждого, формализуя их в виде монотонно возрастающих функций, и при этом обязательно находить связывающий критерий. Теорема Гермейра-Вателя 37
Методы принятия решений в многокритериальной среде • • • Метод анализа иерархии (МАИ). Метод Flectrе Метод вербального анализа MVA. При рассмотрении многокритериальной задачи важное место занимают шкалы измерений, в которых мы будем производить сравнения различных альтернатив, критериев. Предполагаем, что для всех альтернатив мы можем определить интенсивности, определяемые выбранными критериями. Методы принятия решений в многокритериальной среде 38
Типы шкал и их основные характеристики. Тип шкалы Аксиомы Номинальная аксиомы тождества. a~b, либо a=b : if a~b, then b~a : if a~b, b~c, then a~c, a~a (транзитивность) Примечания, примеры Здесь отсутствуют математические свойства. Крайний случай шкалы. Она слабо используется для критериев, в силу слабой различимости. Пример: семейное положение, политическая принадлежность 39
Тип шкалы Аксиомы Порядковая Если кроме (ранговая) указанных выше аксиом добавятся аксиомы упорядоченности. Если a>b, то b
Тип шкалы Аксиомы Интервальная Примечания, примеры Eсли помимо указанных выше аксиом эквивалентности и упорядоченности можно ввести метрическое расстояние ρ(x, y)>=0 ρ(x, y)>0 при x y ρ(x, y)=0 при x = y ρ(x, y) = ρ(y, х) Пример: t 0 по Цельсию или Фаренгейту или летоисчислени е у христиан от Рождения ρ(x, y) <= ρ(x, z)+ ρ(z, y) Христа, у мусульман Магомета интервальные шкалы могут иметь произвольное начало отсчёта и единицы длины, а связь между значениями в таких шкалах является линейной y=ax+b; а>0, b - любое 41
Тип шкалы Аксиомы Примечания, примеры Шкала отношений Если кроме указанных выше аксиом присутствуют аксиомы аддитивности: 1. a=d, p>0, a+p>d 2. a+b =b+a 3. Пусть имеются два равенства: a=c и b=g, тогда a+b=c+g 4. (a+b)+c = a+(b+c) В шкале отношений отсутствует аксиома умножения на число. Т. о. , шкала отношений не подобна числовой оси. Отношение двух значений шкалы не зависит от того, где, в какой из этих шкал, произведены измерения. Пример: длина, вес, национальная валюта, т. е. в шкале отношений между двумя 42
Тип шкалы Аксиомы Примечания, примеры Шкала отношений Если кроме указанных выше аксиом присутствуют аксиомы аддитивности: 1. a=d, p>0, a+p>d 2. a+b =b+a 3. Пусть два равенства: a=c и b=g Тогда a+b=c+g 4. (a+b)+c = a+(b+c) В шкале отношений отсутствует аксиома: умножение на число. Т. о. , шкала отношений не подобна числовой оси. Отношений двух значений шкалы не зависит от того, где, в какой из этих шкал произведены измерения. Пример: длина, вес, национальная валюта, т. е. в шкале отношений между двумя разными отношениями x и y есть линейная связь 43
Задача многокритериальной теории принятия решений характеризуется следующим набором данных, представляемые следующим кортежем. Он записывается в виде:
Процесс принятия решения должен учитывать как достаточно формализуемые этапы и несколько нечёткие (субъективные). Более точно - все приведённые параметры кортежа включают в себя стратегии неопределённости, субъективность и в итоге Вы ищете решение на основе несколько размытых представлений. Противовес размытости, нечёткости - опыт, знание, интуиция экспертов, с одной стороны, а с другой и сама процедура принятия решений, предусматривающая процедуры осреднения. Задача многокритериальной теории принятия решений 45
Несмотря на неопределённость на всех этапах, некоторые из них достаточно детерминированные, например, постановка задачи. Очень важно альтернативы соотнести с целями. К – множество критериев(допустим есть критерий – максимум прибыли, но нет согласия в коллективе; укрепить коллектив только деньгами нельзя – должно быть что-то вроде социальной гармонии и соответствующий критерий по гармонии? ? ? !!!). Х – множество шкал. Желательно проводить выбор в нескольких шкалах, «победитель» – лидер по многим шкалам одновременно. F – отображение. Р – система предпочтений. Задача многокритериальной теории принятия решений 46
Метод анализа иерархий предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам. Метод анализа иерархий
Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем: Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу. Подход метода анализа иерархий состоит из совокупности этапов:
• Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: целикритерии-альтернативы. • Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер. • Вычисление коэффициентов важности(предпочтения) для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР. • Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Структуризация задачи в виде иерархии Построение иерархий начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится иерархия, включающая цель на верхнем уровне, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень.
Обратно симметричные матрицы При формировании парных сравнений используются Обратно симметричные матрицы. показывает оценку сравнения i-ого с j-ым. Свойства: Максимальное по модулю значение собственного числа в обратносимметричных матрицах ≥ размерности матрицы n. Положительная обратносимметричная матрица согласованна тогда и только тогда, когда максимальное значение собственного числа равно размеру матрицы n.
Важное значение имеет согласованность матрицы парных сравнений (т. е. следование логике экспертов при простановке оценок). Для оценки согласованности матрицы вводится понятие индекса согласованности. Uo – индекс однородности Uc –индекс согласованности - максимальное по значению собственное число Oc – оценка согласованности Oo – оценка однородности M(uo) – среднее значение индекса согласованности для случайно сгенерированной матрицы размерности n.
Шкала отношений Для логического построения матрицы парных сравнений применяется шкала отношений.
Пример: Выбор сотового оператора из трех альтернатив (Билайн, Мегафон, МТС) по следующим критерием: • Тарифы • Услуги • Качество • Цена Решение:
Иерархия: Уровень выбора оператора сотовой связи Уровень критериев Уровень альтернатив Решение Сначала построим матрицы парных сравнений при сравнении альтернатив с точки зрения каждого из критериев, затем сравним критерии между собой. Для полученных матриц парных сравнений посчитаем λmax и нормированные собственные вектора, отвечающие λmax. Вычислим все индексы и построим итоговые оценки при помощи иерархического синтеза
Вывод Исходя из произведенных расчетов, выбранный оператор сотовой связи - МЕГАФОН. Данный вывод основан на мнении эксперта со следующими параметрами: место проживания и пользования услугами сотовой связи – Москва и Московская область возраст – 20 лет безработный.