Тетраэдр
Понятие тетраэдра S С А В Тетраэдр – (греч. tetréedro, от tetra, в сложных словах четыре и hedra – основание, грань)
Элементы тетраэдра Грани (4) Вершины (4) S Ребра (6) Основание С А В
развертка тетраэдра Основание Грани
параллелепипед
Наклонный параллелепипед Параллелепипед (от греч. παράλλος − параллельный и греч. επιπεδον − плоскость) − призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них − параллелограмм.
Основания (2) Ребра (12) Вершины (8) Боковые грани (4)
Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 C 1 А 1 B 1 С D А В
Свойства параллелепипеда (1) Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны D 1 C 1 А 1 B 1 С D А В
Свойства параллелепипеда (2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам D 1 C 1 А 1 О B 1 С D А В
Прямой параллелепипед Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания, то такой параллелепипед называется прямым D 1 C 1 А 1 B 1 D А С В боковые грани – прямоугольники
Прямоугольный параллелепипед Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками называется прямоугольным D 1 C 1 А 1 B 1 D А С В все грани – прямоугольники
Свойства прямоугольного параллелепипеда 1° В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники 2° Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда– прямые
Прямоугольный параллелепипед Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда D 1 C 1 А 1 B 1 D А С В длина, ширина и высота
Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d 2 = a 2 + b 2 + c 2 C 1 D 1 А 1 d D А a B 1 c В b Следствие. С Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда
Понятие сечения Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники (рис. 1 и 2) и четырёхугольники (рис. 3 и 4). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники (рис. 5), четырехугольники (рис. 6 и 7), пятиугольники (рис. 8) и шестиугольники (рис. 9). Рис. 5 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 4 Рис. 3 Рис. 7 Рис. 6 Рис. 9 Рис. 8
Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.
Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).
Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает грани по параллельным отрезкам. параллельные 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.
Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: v. Треугольники v. Четырехугольники
Параллелепипед имеет 6 граней v. Треугольники v. Пятиугольники В его сечениях могут получиться: v. Четырехугольник и v. Шестиугольники
Тетраэдр DABC № 1 D Сечение проходит через ребро AB и точку К, лежащую на ребре DC. K C A B
Тетраэдр DABC № 2 Сечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA, параллельно грани ABC. D M K N C A B
№ 3 Тетраэдр DABC D Сечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA, параллельно рёбрам AC и DB. M L C A N K B
Тетраэдр DABC № 4 D Сечение проходит через точки M, N и K, лежащие на рёбрах DA, AB и BС соответственно. M L C A P K N B
№ 5 Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Сечение проходит через точки M, N и K, лежащие на рёбрах DD 1, D 1 C 1 и A 1 D 1 соответственно. B 1 A 1 C 1 N K D 1 M B A C D
Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 № 6 M B 1 C 1 Сечение проходит через точки M, N и K, лежащие на рёбрах B 1 C 1, A 1 D 1 и AD соответственно. N A 1 D 1 P B A K C D
№ 7 Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Сечение проходит через точки N и K, лежащие на рёбрах D 1 C 1 и A 1 B 1 соответственно, а также чрез точку M, принадлежащую грани DD 1 C 1 C. B 1 C 1 K N A 1 D 1 M P L A B C D
№ 8 Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 B 1 Сечение проходит через точки M, N и P, Q лежащие на рёбрах BC, AD и AA 1 соответственно. T C 1 D 1 P B C M A O D N
Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 № 9 M B 1 Сечение проходит через точки M, N и K, лежащие на рёбрах B 1 C 1, A 1 B 1 и AA 1 соответственно. C 1 N A 1 D 1 K T B C R A O D P
№ 10 Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Сечение проходит через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно диагонали DB 1. B 1 C 1 A 1 D 1 P B A C O D
Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 № 11 B 1 A 1 C 1 D 1 P N Сечение проходит через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости DA 1 B 1. M B C O A K D
№ 12 Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Сечение проходит через точки M, N и K, лежащие на рёбрах AA 1, B 1 C 1 и DC соответственно. L N B 1 C 1 A 1 D 1 P M B C K A Q E T D
Сечения тетраэдра Задача 1. На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. D N P С В M А
Сечения тетраэдра Пусть MNP ∩ ABC = a M є a (т. к. лежит в обеих плоскостях) ВС є BDC NP є BDC 1) Пусть BC ∩ NP = E E є a (т. к. лежит в обеих плоскостях) ME = a ME ∩ AC = Q MNPQ - сечение D N P E В С Q M А
Сечения тетраэдра 2) BC || NP ML ∩ AC = Q MNPQ - сечение D P N С В L Q M А
Сечения тетраэдра Задача 2. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани ABC. D M С В А
Сечения тетраэдра Построим прямую a так что M є a a ∩ DC = P, a ∩ DA = Q Построим прямую b так что P є b b ∩ DB = R Треугольник PQR искомое сечение. D P С R M Q А b В a