Теплопроводность при нестационарном режиме Нестационарные процессы теплопроводности

Теплопроводность при нестационарном режиме

Нестационарные процессы теплопроводности в неограниченной пластине l l Рассматриваем задачу, когда тело стремится к тепловому равновесию. Задана пластина толщиной 2δ, размеры в направлении осей y и z неограниченны. Физические условия определяют значения коэффициента теплопроводности материала пластины (λ=const), теплоемкости (с=const), плотности ρ, внутренние тепловые источники отсутствуют. Пластина, имевшая в начальный момент времени одинаковую температуру t, опускается в поток жидкости, имеющей постоянную температуру, отличную от температуры t. Граничные условия определены постоянными и одинаковыми значениями коэффициентов теплоотдачи на обеих поверхностях пластины

l Температурное поле одномерное. Из-за симметрии граничных средней плоскости условий относительно температурное поле в любой момент времени будет также симметричным относительно этой плоскости. Начало координат удобно расположить в центре пластины, направив ось по нормали к оси пластины.

Для удобства последующих вычислений отсчет температуры ведется от температуры окружающей среды Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности запишется так: Условия однозначности примут вид: а) начальные условия б) граничные условия

Решаем поставленную задачу методом разделения переменных, представляя искомую функцию в виде произведения двух функций: каждая из которых зависит лишь от одного аргумента Подставив в получим или, разделив переменные Так как левая часть уравнения не зависит от координат, а правая - от времени, то общее значение и правой и левой частей не должно зависеть ни от x, ни от τ.

Из начальных условий следует, что при нагревании пластины поэтому константа в уравнении должна быть отрицательной. Обозначим константу через и, решив уравнения, получим постоянные интегрирования, которые находятся из начальных и граничных условий. Используя условие симметрии имеем Выражение для поля избыточной температуры имеет вид

Используем граничное условие в виде и получаем при подстановке при значении или приходим к трансцендентному уравнению для определения постоянной k: Обозначим Уравнение называется характеристическим уравнением; его можно решить графическим способом, находя точки пересечения прямой с катангенсоидами

Уравнение имеет бесчисленное множество решений; эти значения называются собственными числами задачи. Величины собственных чисел зависят от порядкового номера и числа Био. l При прямая совпадает с осью абсцисс и корни уравнения имеют значения: l При прямая совпадает с осью ординат и корни уравнения имеют значения: Таким образом, каждое значение собственного числа приводит к частным решениям:

На рис. приведена схема графического решения уравнения

Общее решение дифференциального уравнения определяется как сумма частных решений: Функция удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Постоянные определяются из начальных условий коэффициенты Фурье функции

Окончательное выражение для температурного поля симметрично нагреваемой однородной пластины: l Запишем выражение для безразмерного перепада температур: число Фурье

В большинстве практических задач необходимо определить температуру в характерных точках тел. Так, для пластины наибольший интерес представляет определение температуры либо на поверхности , либо в средней плоскости. Для этих случаев безразмерная координата принимает значения либо 1, либо 0. Выражение является функцией только т. е. функцией порядкового номера и критерия Био. Так как - числа, величина которых возрастает с порядковым номером, то последующие члены ряда играют все меньшую роль с возрастанием

Исследования показывают, что при ряд становится быстро сходящимся и может быть с достаточной точностью и заменен первым членом ряда: , Для оси пластины имеем для наружной поверхности функции, зависящие только от числа Био.

Таким образом, при заданных координатах безразмерный перепад температур является функцией только двух чисел: Био и Фурье. l Производя логарифмирование уравнений получаем выражения

Уравнения удобно представить в полулогарифмических координатах. Число Био используется как параметр. Пользуясь графиками, можно выполнять следующие расчеты: 1) при заданной продолжительности нагревания пластины (т. е. задано число Фурье) и интенсивности теплоотдачи с ее поверхности (т. е. задано число Био) определяются безразмерные температуры; 2) при заданных безразмерных температурах и числе Био определяется продолжительность нагрева, т. е. число Фурье; 3) при заданных числе Фурье и безразмерных пластины, т. е. число Био. температурах определяется интенсивность теплоотдачи на поверхность

l l l Из уравнения следует, что температурное поле в пластине имеет для любого момента времени вид симметричной кривой (косинус - функция четная). Минимум кривой находится на оси пластины. Для любого момента времени касательные к температурным кривым в точках проходят через одни и те же симметрично расположенные точки. Эти точки называются направляющими и отстоят от поверхности пластины определяется условиями однозначности поверхности пластины на относительном расстоянии , т. к. расстояние точки от, следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения их с поверхностью пластины при неизменных условиях однозначности всегда проходят через точку.

Нестационарные процессы теплопроводности в цилиндре l l l Рассмотрим задачу по определению температурного поля в неограниченном цилиндре радиуса , начальная температура которого. Цилиндр помещен в среду с постоянной температурой , коэффициент теплоотдачи. Изотермическое поле зависит только от радиуса и времени. Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемой задачи условия однозначности

После замены переменных система уравнении, описывающая температурное поле неограниченного цилиндра, преобразуется к виду Для решения применим метод разделения переменных, который приводит к частному решению вида где функция в рассматриваемой задаче должна быть решением уравнения Бесселя

Так как зависит только от радиуса , то общее решение уравнения представим как сумму двух частных решений: Это следует из того, что общее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка вида можно записать так: , где - постоянные, линейно независимые решения уравнения. При этом достаточно знать только одно линейно независимое решение, тогда второе находится по формуле

Первое частное решение определяется из преобразованного уравнения Бесселя: Заменяя и учитывая, что в этом случае получаем уравнение Решение этого уравнения отыскивается в виде степенного ряда Дифференцируем почленно

Подставляя последние три уравнения и группируя члены с одинаковой степенью, получаем Выражение равно нулю при Из этих равенств следует, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю, а коэффициенты с четными индексами выражаются через Следовательно, частное решение есть выражение

Если положить , то частный интеграл уравнения равен функции называемой функцией Бесселя I рода нулевого порядка. Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой Подставим в виде , произведем вычисления и в результате получим

Для удобства вычислений вместо функции решение связанная с где в общее подставляется функция соотношением - постоянная Эйлера, - функция Бесселя II рода нулевого порядка.

Вид функций и представлен на рисунке. Частные решения и линейно независимы, общий интеграл уравнения или, возвращаясь к переменной ,

Так как температура на оси цилиндра должна быть конечной, то решение не должно содержать функцию , которая стремится к бесконечности при , следовательно, и решение принимает вид l Постоянные и определяются из граничного и начального условий. Введем функцию Бесселя I рода первого порядка l Удовлетворим решение условию граничному

Как видно из графика, имеется бесчисленное множество корней , определяемых пересечением графиков функций. Общее решение есть сумма всех частных решений: Постоянные определяются из начального условия. Это соотношение представляет собой разложение функции в ряд по функциям Бесселя. Обозначим

В том случае если 0, 25, ряд сходится очень быстро и для практических расчетов можно ограничиться первым членом ряда. l При этом безразмерным перепадам температур на поверхности в на оси цилиндра соответствуют формулы

Теплота, поступающая в тело за время , должна равняться изменению его энтальпии за это время: Для промежутка времени, ограниченного для пластины, , где В случае, когда 0, 25, так же как и

Регулярный режим процессов теплопроводности Регулярным тепловым режимом называют нестационарный процесс теплопроводности, при котором поле избыточной температуры автомодельно по времени, т. е. остается подобным при изменении времени. избыточная температура может быть представлена рядом , где - постоянные коэффициенты, зависящие от заданных начальных условий (числа ) и не зависящие ни от координат, ни от времени; функция, зависящая от координат и числа Био. Специфика геометрической формы учитывается видом множителей.

Для первого члена ряда величину множителя при температуре называют темпом регулярного режима: При малых значениях температуры поле избыточной температуры на распределение избыточной температуры оказывают влияние не только первый, но и последующий члены ряда. В этот период на формирование поля избыточной температуры оказывает существенное влияние начальное распределение температур в теле. Этот период называется неупорядоченным нестационарным процессом. Начиная с некоторого значения ( >0, 3) поле избыточной температуры с достаточной точностью описывается первым членом ряда; с этого момента начальные условия играют второстепенную роль. Этот период и называется регулярным режимом.