ТЕПЛОМАССООБМЕН Основы теории подобия Вопрос 2 2016 год
• Определение коэффициентов: Ø теплопроводности λ; Ø лучеиспускание (передача теплоты излучением) αиз; Ø коэффициента молекулярной диффузии D; не представляет большой трудности вследствие стабильности свойств различных материалов и их состояния. • Определение коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи β является трудной задачей. • Эти коэффициенты зависят от множества трудно учитываемых факторов: от режима движения жидкости; от свойств жидкости; от состояния поверхности; от геометрической формы поверхности и т. п.
• Для определения коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи β приходится прибегать к экспериментам на типичных моделях при определенных условиях. • Система понятий и законов, обосновывающих возможность переноса результатов экспериментов с одного объекта (модели) на другой (реальный), называется теорией подобия. • В основе теории подобия лежат следующие понятия и положения.
• Два физических процесса считаются подобными, если они подчиняются одним и тем же физическим законам и все величины , характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ним величин , характеризующих другой процесс, на постоянные числа Ci, которые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин: • Константами подобия – отношение однородных физических величин в сходственных точках модели и натурного объекта.
• Простейшим случаем подобия двух объектов является геометрическое подобие. • Два треугольника подобны, если их стороны пропорциональны: • Величина Cl называется геометрического подобия. константой
• Каждая величина, характеризующая подобные объекты (или явления), имеет свою константу подобия. • Для геометрического подобия численное значение геометрической константы подобия Cl может быть любым. • Для сложных физических процессов, характеризуемых многими величинами, взаимно влияющими друг на друга, значения констант подобия произвольно выбрать нельзя. Установим условие, ограничивающие выбор констант подобия С. Рассмотрим движение жидкости со скоростью ω на пути l за время τ:
• Для сходственных (т. е. одинаково расположенных) частиц подобных потоков и • Введем константы подобия: или Это и есть условие, ограничивающее выбор констант подобия при рассмотрении сложных физических процессов.
Вместо констант подобия подставим характеризуемые ими величины. idem обозначает «одно и тоже» и применяется для того, чтобы подчеркнуть, что критерии для подобных явлений должны быть одинаковыми. • Записанное соотношение безразмерно и в общем случае отлично от единицы. Данное соотношение называется критерием подобия.
• Критерия подобия устанавливаются из уравнений, описывающих подобные процессы путем анализа размерностей, с помощью масштабных преобразований и т. д. • В качестве примера рассмотрим подобие двух случаев конвективного теплообмена между жидкостью и плоской стенкой длиной l' и l''.
• Для обоих случаев справедливы уравнения теплопроводности через пограничный слой δ' и δ'' (закон Фурье) • и конвекции в движущейся массе жидкости (закон Ньютона) где λ и α – средние значения теплопроводности и теплоотдачи. • При стационарном режиме коэффициентов
– дифференциальное уравнение одномерной, стационарной конвективной теплоотдачи между жидкостью и стенкой Произведем анализ размерностей Отбросим знаки дифференцирования и пологая характерным размером x = l, получим: откуда • Полученный безразмерный комплекс называется числом Нуссельта
В критерии Нуссельта под l подразумевается любой линейный параметр, однозначно определяющий толщину пограничного слоя (длина пластины, толщина пограничного слоя и т. п. ). • Величины λ и α берутся однозначно, т. е. или в обоих случаях средние, или отнесенные к каким-то сходственным точкам. • Основные критерии подобия, применяющиеся при решении задач теплообмена, и их физический смысл. • Аналогичные критерии с соответствующей заменой коэффициентов и потенциалов применяются при решении задач массоотдачи.
Число Рейнольдса • где ω – скорость потока (м/с); d – эквивалентный диаметр канала; ν – коэффициент кинематической вязкости (м 2/с). • Критерий Рейнольдса характеризует гидродинамический режим движения, являясь мерой отношения сил инерции и вязкости. При малых силах инерции и больших силах вязкости движение ламинарное, в противоположном случае турбулентное.
Число Грасгофа где – коэффициент объемного расширения (К-1); – для идеального газа; Δt – разность температур в двух точках системы потока и стенки (К). Если ρж и ρс – плотности жидкости в двух точках системы, то • Критерий Грасгофа характеризует гидродинамическое подобие при свободном движении жидкости. Отражает соотношение между подъемной силой, заставляющей всплывать нагретые частицы теплоносителя (архимедова сила), и силой вязкостного трения, препятствующей подъему этих частиц. Чем Gr выше, тем свободное движение интенсивнее.
Число Нуссельта • где α – коэффициент конвективной теплоотдачи (Вт/м 2·К). • Критерий Нуссельта характеризует отношение между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое потока. • Чем Nu выше, тем интенсивнее конвективного теплообмена. процесс
Число Прандтля • где ср – теплоемкость жидкости при постоянном давлении (Дж/кг·К); • λ – коэффициент теплопроводности жидкости; • a – коэффициент температуропроводности (м 2/с). • Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и способность распространения тепла в жидкости. Ø Для газов Pr = 0, 67÷ 1, 0 и зависит только от атомности; Ø для жидкостей Pr = 1, 0÷ 2500.
• Критерии, составленные из величин, определяющий характер процесса, но не включающие искомых величин, называются определяющими, а критерии, включающие искомые величины – неопределяющие. • Определяющими называются величины, заданные в условиях однозначности физических процессов, являющиеся независимыми переменными. • Например, при расчете конвективного теплообмена критерий Нуссельта Nu является неопределяющим, поскольку в него входит искомая величина α (коэффициент теплоотдачи). Критерии Рейнольдса Re и Прандтля Pr в этих расчетах определяющие.
• Критерий Био (Bi) применяется обычно при исследовании нестационарного процесса распространения теплоты в твердом теле, условия взаимодействия которого с окружающей средой (теплоносителя) известны (коэффициент теплоотдачи α задается). • По условию задачи бывают известны также характерный размер l и коэффициент теплопроводности λ. Поэтому критерий Био является также определяющим. • Температура, при которой определяются физические параметры λ, а, ν и др. , входящие в критерии подобия называется определяющей температурой, а характерный размер теплоносителя или канала δ, l, d – определяющим размером.
• Физический процесс полностью описывается некоторой системой дифференциальных уравнений и присоединенных к ним краевых условий в том случае, если эта система является замкнутой, т. е. число уравнений равно числу неизвестных величин и соблюдено условие единственности решений. • В таком случае принципиально возможно получить решение относительно любого из этих неизвестных, т. е. выразить интеграл рассматриваемой системы уравнений в виде некоторой функции (4) где yi – искомая неизвестная (зависимая) переменная величина; xi – независимые переменные, входящие в основную систему уравнений.
• Для того чтобы выяснить, какие из входящих в уравнение переменных являются независимыми, необходимо определить краевые условия протекания изучаемого процесса – условия однозначности: 1) геометрические условия (форма и размер тела, координатная система); 2) физические условия (физические свойства среды и тела); 3) временные условия, характеризующие системы в начальный момент времени; состояние 4) граничные условия, которые определяют условия взаимодействия системы с окружающей средой.
• Величины, входящие в условие однозначности, задаются внешним образом по отношению к основным уравнениям и являются независимыми переменными, совокупность которых однозначно определяет протекание данного физического процесса. • Все остальные переменные, входящие в основные уравнения, являются зависимыми переменными. • Величины xi в формуле (4) составлены из условий однозначности.
В основе теории подобия лежат следующие три теоремы подобия • 1 -ая теорема. В сходственных точках подобных процессов (например, a, b, c, d изображенные на рисунке) одноименные критерии должны иметь одинаковые значения.
• 2 -ая теорема. Определяющие и неопределяющие критерии подобных процессов связаны между собой уравнением подобия (критериальным уравнением), которое является безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов. • Обозначим через Kо определяющие критерии, а через Kн – неопределяющие, то критериальное уравнение в общей форме будет иметь вид: (5)
• 3 -я теорема. Для того, чтобы два процесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, т. е. их условия однозначности были подобны, а определяющие критерии в сходственных точках равны. • Поясним содержание 2 -ой и 3 -ей теорем. • Вторая теорема является для практических целей самой плодотворной. • Смысл второй теоремы сводится к тому, что можно, не интегрируя дифференциальные уравнения исследуемых подобных процессов, получать расчетные формулы, заменяя эти дифференциальные уравнения критериальными.
• Это особенно выгодно в тех случаях, когда дифференциальное уравнение не интегрируется. • Тогда из этих уравнений аналитически определяют критерии подобия и рассматривают их как новые переменные (каждый из критериев состоит из нескольких переменных). • Количество переменных при этом сокращается, что облегчает исследование. • Затем между критериями экспериментально устанавливается функциональная зависимость – критериальное уравнение. Эти уравнения получаются для строго определенных условий, поэтому пользоваться ими можно лишь в том диапазоне изменения определяющих критериев, который имел место в опытах, т. е. в пределах, ограниченных условиями подобия.
• Например, критериальное уравнение для теплоотдачи внутри круглых труб при условиях, близких к изотермическим, имеет вид (6) • Это уравнение применимо при и Определяющим размером в числах Рейнольдса Re и Нуссельта Nu является внутренний диаметр трубы, определяющей температурой – температура потока t 1 теплоносителя. В случае, если температура потока t 1 и стенки tст заметно отличаются друг от друга, величину критерия Nu полученную из формулы (6), надо умножить на специальную поправку.
• Третья теорема устанавливает условия подобия: • 1) подобие условий однозначности; • 2) равенство определяющих критериев подобия сходственных точках. в • Если определяющие критерии одинаковы, то критерии, составленные из величин, не относящихся к условиям однозначности, т. е. неопределяющие, тоже будут равны. • Теория подобия широко используется при моделировании самых различных процессов и явлений, особенно при рассмотрении конвективного теплообмена и определения для разных его случаев коэффициента теплоотдачи.
Скачать презентацию ТЕПЛОМАССООБМЕН Основы теории подобия Вопрос 2 2016 год
Вопрос 2. Основы теории подобия (2017).pptx