Тепломассообмен 2 Теплопроводность через плоские и цилиндрические стенки

Теплопроводность через однослойную плоскую стенку 0

Дифференциальное уравнение теплопроводности (частный случай) Ранее мы получили общий вид дифференциального уравнения теплопроводности: В частном случае, для стационарного процесса при отсутствии внутренних источников теплоты из (1) при следует: или развернутое выражение оператора Лапласа: Для бесконечной пластины: , то есть: . Дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде: . (1). ; . (2) (3)

Условия однозначности Для рассматриваемого случая добавляем условия однозначности: ● Геометрические: вертикальная пластина , ● Физические: ● Начальные: для стационарного процесса не требуются, ● Граничные условия I рода: при (4) Найти: После первого интегрирования дифференциального уравнения (3) имеем: После разделения переменных в (5): (5) (6)

Удельный тепловой поток После 2 -го интегрирования: (7) Для определения констант интегрирования подставляем (4) в (7): при (8) откуда с учетом (5) имеем: (9) По закону Фурье: откуда градиент Подставляя (10) в (9), получим: (10) откуда: или в форме закона Ома: - термическое сопротивление плоской стенки, (11)

Теплопроводность через трехслойную плоскую стенку

Термическое сопротивление теплопроводности 3 -слойной плоской стенки Для стационарного теплового режима в первом слое во втором слое в третьем слое Сложив правые и левые части этих трех выражений, получим: или в форме закона Ома – где термическое сопротивление теплопроводности трехслойной плоской стенки, (м 2 К)/Вт : .

Теплопроводность через плоскую стенку Изменение температуры по толщине плоской стенки носит линейный характер. Это вытекает из дифференциального уравнения теплопроводности для стационарных условий нагрева одномерного тела. Решение этого уравнения относительно температуры дает выражение для температуры в любой точке плоской стенки: Термическое сопротивление будет представлять собой Термическое сопротивление плоской стенки – это температурный напор, приходящийся на единицу удельного расхода теплоты.

Графический метод определения температур между слоями

Определение температур между слоями Треугольники АBC и ADE подобны между собой по равенству трех углов. Из их подобия следует: или: то есть , откуда находится температура . Аналогично, из подобия треугольников AFG и ADE: Отсюда находится температура .

Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндрической стенки Общее выражение дифференциального уравнения теплопроводности: (1) Для стационарного процесса при отсутствии внутренних источников теплоты с учетом этих условий уравнение (1) примет вид. Но , тогда частный вид дифференциального уравнения теплопроводности: Или через развернутое выражение оператора Лапласа: . (2)

Условия однозначности Добавляем условия однозначности: ● Геометрические условия: (бесконечная цилиндрическая стенка); ● Физические условия: ● Начальные условия: для стационарного процесса не требуются; ● Граничные условия I рода: при (3) при

Преобразование дифференциального уравнения В соответствии с геометрическими условиями однозначности, в бесконечной цилиндрической стенке температура не изменяется по координатам z и , тогда уравнение (2) примет вид: (4). Найти: Представим дифференциальное уравнение (4) в виде: Умножим его на: и получим окончательно

Интегрирование После первого интегрирования имеем: Или: После потенцирования: (5) Разделяем переменные в (5): после второго интегрирования: - это логарифмическая зависимость (6).

Определение констант интегрирования Подставляем граничные условия (3) в (6): при Получим: Находим отсюда константу интегрирования, которая с учетом (5): По закону Фурье: (7) или (8)

Тепловой поток Подставляем (8) в (7): откуда: полный и удельный тепловые потоки (9) Или в форме закона Ома: Здесь (10) (11) - линейное термическое сопротивление теплопроводности 1 -слойной цилиндрической стенки, (м. К)/Вт.

Теплопроводность через трехслойную цилиндрическую стенку

Линейное термическое сопротивление теплопроводности Для всех слоев при стационарном тепловом режиме: Тогда падения температур в каждом слое: Сложив левые и правые части этих уравнений, получим: тогда линейное термическое сопротивление трехслойной цилиндрической стенки, (м. К)/Вт и температуры между слоями С: ; .

Теплопроводность через цилиндрическую стенку: (а) однородную; (б) многослойную

Теплопроводность через цилиндрическую стенку Если стенка имеет цилиндрический вид, то формула для расчета теплового потока будет вид: , Вт где L – длина цилиндрической стенки, м; – термическое сопротивление цилиндрической стенки, м·град/Вт. Термическое сопротивление цилиндрической стенки – это температурный напор, приходящийся на единицу удельного расхода теплоты, уменьшенного в π раз.

Теплопроводность через цилиндрическую стенку Для цилиндрической стенки изменение температуры по толщине стенки носит экспоненциальный характер, что вытекает из дифференциального уравнения теплопроводности а температура в любой точке стенки может быть найдена по выражению

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача № 1 Определить количество теплоты, передаваемой за 1 час через чугунную стенку размером 0. 5 1 м 2 и толщиной = 5 мм, если температуры поверхностей t 1 = 1200 C и t 2 =1000 C. чугун = 29 Вт/(м град). Решение. Плотность теплового потока через плоскую стенку с заданными температурами на ограничивающих поверхностях равна , где термическое сопротивление стенки. Количество теплоты, переданное за время через поверхность площадью S, равно: Q = q *S* =1. 17 *105*0. 5 *3600 = 2. 1*108 Дж = 210 МДж.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 3 Стенка топочной камеры парового котла выполнена из пеношамота толщиной δ 1=210 мм, изоляционной прослойки из шлака δ 2=110 мм и слоя красного кирпича δ 3=240 мм. Температура на внутренней поверхности камеры t 1=1100 °С, а на наружней t 2 =40°С. Коэффициенты теплопрводности: пеношамота λ 1=1, 25 Вт/(м • К), изоляционного слоя λ 2=0, 11 Вт/(м • К), красного кирпича λ 3=0, 7 Вт/(м • К). Определить: 1)тепловые потери через 1 м трехслойной стенки топочной камеры и температуры в плоскости соприкосновения слоев, 2) изменения плотности теплового потока, если внутренняя поверхность стенки топочной камеры покрылась слоем сажи толщиной δс=1, 5 мм с теплопроводностью λс=0, 09 Вт/(м • К), определить также температуры на стыке слоев; 3)изменения плотности теплового потока, если изоляционную прослойку заменить красным кирпичем. Определить температуру на стыке пеношамота и красного кирпича, а также минимальную толщину стенки пеношамота, если известно, что красный кирпич разрушается при tразр=850°С.

Решение задачи № 3

Решение задачи № 3 (продолжение)

Задача № 4 Стенка большой печи толщиной δ 1=1, 5 см изготовлена из чугуна. Температура горячего газа tж 1=tг=1100ºС, коэффициент конвективной теплоотдачи на внутренней поверхности стенки α 1=250 Вт/(м 2 • град). Наружная поверхность печи окружена воздухом, коэффициент теплоотдачи равен α 2=20 Вт/(м 2 • град). Температура среды tж 2=tв=30 ºС. Рассчитать значения всех термических сопротивлений на единицу площади. Найти плотность теплового потока через стенку печи. Рассчитать температуры внутренней и наружной поверхностей стенок.

Решение задачи № 4

Решение задачи № 4 (продолжение)

Задача № 5 Тепло от дымовых газов передается через плоскую стенку кипящей воде. Температура газов t 1 , воды - t 2 , суммарный коэффициент теплоотдачи от газов к стенке α 1 , а от стенки к воде – α 2. Стенка стальная, чистая (λ 1=50, 1 Вт/(м К)) толщиной δ 1. Рассчитать коэффициент теплопередачи к. Как измениться коэффициент теплопередачи к, если:

Задача № 5

Решение задачи № 5

Решение задачи № 5 (продолжение)

ЗАДАЧА № 6 Задача № 6 Стальной трубопровод с внутренним диаметром d 1=100 мм (наружный диаметр d 2=110 мм) с коэффициентом теплопроводности стенки λ 1=50 Вт/(м К) покрыт изоляцией в два слоя одинаковой толщины δ 2=δ 3=50 мм. Первый слой изоляции со стороны трубы выполнен из материала с коэффициентом теплопроводности λ 2=0, 06 Вт/(м К), второй слой- из материала с коэффициентом теплопроводности λ 3=0, 12 Вт/(м К). Температура внутренней поверхности трубы tс1=250 °С, температура наружной поверхности изоляции tс4=50°С. Определить тепловые потери с единицы длины трубы и температуру на стыке слоев изоляции. Выполнить расчет для случая, если слои изоляции поменять местами.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6 (продолжение)

Задача № 7 Стальной паропровод диаметром 150 х5 мм имеет на внутренней поверхности температуру t 1 =300°С. Его надо покрыть двумя слоями изоляции, причем температура наружней поверхности изоляции не должна превышать t 2 =50°С. Для изоляции предлагаются: слой А толщиной δА=20 мм и теплопроводностью λА=0, 037 Вт/(м • К) и слой Б толщиной δБ=40 мм и теплопроводностью λБ=0, 14 Вт/(м • К). В какой последовательности надо расположить эти слои на паропроводе, чтобы получить минимальные тепловые потери?

Решение задачи № 7

Решение задачи № 7 (продолжение)