Теория вычислительных процессов Теория сетей Петри и моделирование

Теория вычислительных процессов Теория сетей Петри и моделирование систем 1

Сети Петри для моделирования систем 1. 2. 3. 4. 5. 6. Основные понятия сетей Петри (СП). Способы задания СП Выполнение СП Моделирование систем сетями Петри Задачи анализа и способы анализа СП Расширенные и ограниченные СП 2

Введение Сети Петри – инструмент исследования систем. Теория сетей Петри делает возможным моделирование системы математическим представлением ее в виде сети Петри. Предполагается, что анализ сетей Петри поможет получить важную информацию о структуре и динамическом поведении моделируемой системы. Эта информация будет полезна для оценки моделируемой системы и выработки предложений по ее усовершенствованию. Поэтому развитие сетей Петри основывалось на применении их к моделированию и проектированию систем. 3

Моделирование Сети Петри применяются исключительно в моделировании. Во многих областях исследований (вычислительная техника, ядерная физика, астрономия, социология, биология и др. ) явления, объекты и системы изучаются не непосредственно, а косвенно, – через модель. Модель – это то или иное представление того, что является наиболее важным в изучаемом объекте (системе) Предполагается, что используя модель, можно получить новые знания об изучаемом объекте, избегая опасности, дороговизны и прочих неудобств. В компьютерном моделировании наиболее часто используются математические модели. 4

Природа систем Несмотря на разнообразие моделируемых систем, выделяют несколько общих черт, которые должны быть отражены в моделях этих систем. 1. Системы состоят из отдельных взаимодействующих компонент, каждая из которых сама может быть системой, и может быть описана независимо от других. 2. Каждая компонента в каждый момент времени имеет конкретное состояние – одно из некоторого набора состояний; в процессе функционирования модели её компоненты чаще всего меняют свои состояния. 3. Компоненты могут выполнять некоторые действия – последовательно или параллельно. 4. Параллелизм действий в модели требует синхронизации взаимодействий компонентов 5

Появление теории сетей Петри Сети Петри разрабатывались специально для моделирования систем, содержащих взаимодействующие параллельно функционирующие компоненты. Впервые их предложил Карл Адам Петри в 1966 году в своей докторской диссертации «Связь автоматов» . В ней были разработаны основные понятия, с которых началось развитие сетей Петри. Основная литература по сетям Петри • Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем: Пер. с англ. – М. : Мир, 1984. – 264 с. , ил. • Котов В. Е. Сети Петри. – М. : Наука, 1984. – 158 с. 6

Применение теории сетей Петри (1) Возможно два подхода к практическому применению сетей Петри проектировании и анализе систем: 1. Сети Петри рассматриваются как вспомогательный инструмент анализа. Для построения системы рассматриваются общепринятые методы проектирования. Затем построенная система моделируется сетью Петри, и эта модель анализируется. Проблемы анализа указывают на изъяны в проекте, для исправления их надо модифицировать проект, который снова моделируется СП и т. д. , пока проведенный анализ нас не удовлетворит. Система модификация моделирование Свойства системы Сеть Петри анализ 7

Применение теории сетей Петри (2) 2. Более радикальный подход – процесс проектирования и определения характеристик проводится в терминах сетей Петри. Методы анализа применяются только для создания проекта сети Петри, свободного от ошибок. Таким образом, задача заключается в преобразовании представления сети Петри в реальную рабочую систему. Сеть Петри анализ Свойства системы модификация сети синтез Система

Прикладная и чистая теории сетей Петри Прикладная теория сетей Петри связана с применением сетей Петри к моделированию систем, их анализу и получающимся в результате этого глубоким проникновением в моделируемые системы. Эта работа требует хорошего знания области применения, сетей Петри и метода теории сетей Петри Чистая теория сети Петри занимается разработкой основных средств, методов и понятий, необходимых для применения сетей Петри. Большая часть работ по сетям Петри относится к фундаментальной теории сетей Петри, развивающей средства и методы. Которые окажутся некогда полезными для применения сетей Петри к конкретным реальным задачам

Основные определения Рассмотрим основные понятия сетей Петри, и прежде всего обратимся к теории комплектов. Комплект есть набор элементов из некоторой области, но, в отличии от множества, комплект допускает наличие нескольких экземпляров элемента. Функция #(х, В) определяет число экземпляров элемента х в комплекте В. Мощность комплекта |B| - общее число экземпляров элементов в комплекте. Операции : А В, А+В, А-В. Отображения Париха f = (f 1, f 2, …fn), где fi = #(xi, B)

Операции над комплектами Функция #(х, В) определяет число экземпляров элемента х в комплекте В. Мощность комплекта |B| - общее число экземпляров элементов в комплекте. Операции : А В, А+В, А-В. Отображения Париха f = (f 1, f 2, …fn), где fi = #(xi, B)

Свойства операций над комплектами Свойства и примеры

Структура сети Петри Сеть Петри состоит из четырех элементов: 1) множество позиций Р; 2) множество переходов Т; 3) входная функция I ; 4) выходная функция O. Входная и выходная функции связаны с позициями и переходами. Входная функция I отображает переход tj в множество позиций I(tj), называемых входными позициями перехода. Выходная функция O отображает переход tj в множество позиций O (tj), называемых выходными позициями перехода. Структура сети Петри определяется ее позициями, переходами, входной и выходной функциями.

Определение элементов сети Петри Определение 1. 1. Сеть Петри С является четверкой, С = (Р, Т, I, О). Р = {p 1, p 2, …, pn} – конечное множество позиций, n ≥ 0. Т = {t 1, t 2, …, tm}–конечное множество переходов, m ≥ 0. Множество позиций и множество переходов не пересекаются, P ∩ T = Ø. I : T → P∞ является входной функцией – отображением из переходов в комплекты позиций. O : T → P∞ есть выходная функция – отображение из переходов в комплекты позиций. Мощность множества Р есть число n, а мощность множества T есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом pi, i = 1, …, n, а произвольный элемент Т – символом tj, j = 1, …, m.

Примеры сетей Петри С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5}, T = {t 1, t 2, t 3, t 4}, С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6}, T = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5}, I(t 1) = {p 1} O(t 1) = {p 2, p 3, p 5} I(t 2) = {p 2, p 3, p 5} O(t 2) = {p 5} I(t 3) = {p 3} O(t 3) = {p 4} I(t 4) = {p 4} O(t 4) = { p 2, p 3} I(t 1) = {p 1} O(t 1) = {p 2, p 3} I(t 2) = {p 3} O(t 2) = {p 3, p 5} I(t 3) = {p 2, p 3} O(t 3) = {p 2, p 4} I(t 4) = {p 4, p 5, p 5} O(t 4) = {p 4} I(t 5) = {p 2} O(t 5) = {p 6}

Кратность входов и выходов Позиция pi является входной позицией перехода tj в том случае, если pi I(tj); pi является выходной позицией, если pi O(tj). Входы и выходы переходов представляют собой комплекты позиций. Комплект является обобщением множества, в которое включены повторяющиеся (тиражируемые ) элементы Использование комплектов, а не множеств для входов и выходов перехода позволяет позиции быть кратным входом либо кратным выходом перехода.

Кратность позиций сети Петри Кратность входной позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции во входном комплекте перехода, #( pi, I(tj)). Аналогично кратность выходной позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода, #( pi, O(tj)). Если входная и выходная функции были бы множествами (а не комплектами), то кратность каждой позиции всегда была бы либо 0, либо 1. Входы и выходы позиций Определим, что переход tj является входом позиции pi , если pi есть выход tj. Переход tj есть выход позиции pi, если pi есть вход tj.

Расширенные функции сети Петри Определение 1. 2. Определим расширенную входную функцию I и выходную функцию O I : P → T ∞ , O : P → T ∞ таким образом, что #( tj, I (pi)) = #( pi, O(tj)), #( tj, O(pi)) = #( pi, I (tj)). Для сети Петри на рисунке расширенными входной и выходной функциями являются: С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4}, T = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6}, I(p 1) = { } O(p 1) = {t 1} I(p 2) = {t 1, t 4}O(p 2) = {t 2} I(p 3) = {t 1, t 4}O(p 3) = {t 2, t 3} I(p 4) = {t 3} O(p 4) = {t 4} I(p 5) = {t 1, t 2}O(p 5) = {t 2}

Графы сети Петри (1) В значительной степени теоретическая работа по сетям Петри основана на формальном определении сетей Петри, изложенном выше. Тем не менее для иллюстрации понятий теории сетей Петри гораздо более удобно графическое представление сети Петри. Теоретико-графовым представлением сети Петри является двудольный ориентированный мультиграф. Структура сети Петри представляет собой совокупность позиций и переходов. В соответствии с этим граф сети Петри обладает двумя типами узлов. Кружок О является позицией, а планка | – переходом.

Графы сети Петри (2) Ориентированные дуги (стрелки) соединяют позиции и переходы, при этом некоторые дуги направлены от позиций к переходам, другие – от переходов к позициям. Дуга, направленная от позиции pi к переходу tj, определяет позицию, которая является входом перехода. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции. Кратные выходы также представлены кратными дугами.

Графы сети Петри (3) Сеть Петри есть мультиграф, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины графа к другой. Следует добавить, что так как дуги являются направленными, то это ориентированный мультиграф. Мы знаем, что вершины графа можно разделить на два множества (позиции и переходы). При этом каждая дуга будет направлена от элемента одного множества (позиций либо переходов) к элементу другого множества (переходов либо позиций); следовательно, такой граф является двудольным ориентированным мультиграфом. В дальнейшем для простоты будем называть его просто графом сети Петри.

Графы сети Петри (4) Определение 1. 3. Граф G сети Петри есть двудольный ориентированный мультиграф, G = (V, А), где V = {v 1, v 2, …, vs} – множество вершин, а А = {a 1, a 2, …, ar} – комплект направленных дуг, ai = (vj, vk), где vj, vk V. Множество V может быть разбито на два непересекающихся подмножества Р и Т, таких, что V=РUТ и Р∩Т = Ø, и для любой направленной дуги ai А, если ai = (vj, vk), тогда либо vj, Р, vk Т, либо vj, Т, vk Р. Графы сети Петри, изображенные на следующем слайде, эквивалентны соответственно структурам сети Петри на слайде «Расширенные функции сети Петри» .

Графы сети Петри (5) С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5}, T = {t 1, t 2, t 3, t 4}, I(t 1) = {p 1} I(t 2) = {p 2, p 3, p 5} I(t 3) = {p 3} I(t 4) = {p 4} O(t 1) = {p 2, p 3, p 5} O(t 2) = {p 5} O(t 3) = {p 4} O(t 4) = { p 2, p 3} 23

Графы сети Петри (6) Структура сети Петри и её граф – эквивалентные представления сети. Они взаимно преобразуемы. Пусть дана структура сети Петри: С = {Р, Т, I, О) с Р = {p 1, p 2, …, pn}, Т = {t 1, t 2, …, tm}. Тогда граф сети Петри можно определить следующим образом. Определение 1. 4. 1. Определим множество вершин как V = PUT. 2. Определим А – комплект направленных дуг, такой, что для всех pi Р и tj Т : #( (pi , tj), А) = #( pi, I(tj)), #( tj, pi), А) = #( pi, O(tj)). Тогда G = (V, А) – граф сети Петри, эквивалентный структуре сети Петри С = (Р, Т, I, О). 24

Графы сети Петри (7) Обратное преобразование (от графа сети Петри к структуре) осуществляется подобным образом. Однако при переходе от графа сети Петри к структуре сети Петри возникает одна интересная задача: если множество вершин можно разделить на подмножества S и R, то какое из этих подмножеств должно быть позициями, а какое — переходами? Оба возможных варианта позволяют определить сеть Петри, хотя в получающихся в результате структурах позиции и переходы меняются местами. Указанная задача исчезает, если учесть различие графических изображений вершин-позиций и вершинпереходов в графе. 25

Графы сети Петри (8) Двойственной к сети Петри С = (Р, Т, I, О) является сеть Петри = (Т, Р, I, О), которая получается в результате перестановки позиций и переходов. Структура графа сохраняется, просто меняются местами кружки и планки. На рисунке ниже показана сеть, двойственная к сети Петри, представленной на слайде «Графы сети Петри p. 5» t 3 26

Графы сети Петри (9) Инверсная сеть Петри С для сети Петри С = (Р, Т, I, О), определяется перестановкой входной и выходной функций С = (Р, Т, О, I). Граф для сети, инверсной сети Петри на слайде «Графы сети Петри (5)» , выглядит так: 27

Графы сети Петри (10) Графы сети Петри являются мультиграфами, так как позиция может быть кратным входом или выходом перехода. В графе это показывается несколькими дугами между позицией и переходом. В то время как такой способ удовлетворителен для дуг с малой кратностью (не более трех), он неудобен для дуг очень большой кратности. Таким образом, в качестве альтернативного представления структур с большой краткостью используется пучок дуг. Пучок – это специальная дуга, которая рисуется жирной линией и помечается кратностью. Рисунок иллюстрирует переход с входной кратностью 7 и выходной кратностью 11. 28

Маркировка сетей Петри (1) Маркировка μ, есть присвоение фишек позициям сети Петри. Фишка – это примитивное понятие сетей Петри (подобно позициям и переходам). Фишки присваиваются (можно считать, что они принадлежат) позициям. Количество и положение фишек при выполнении сети Петри могут изменяться. Фишки используются для определения выполнения сети Петри. Определение 1. 5. Маркировка μ сети Петри С = (Р, Т, I, О) есть функция, отображающая множество позиций Р в множество неотрицательных целых чисел N. μ : Р → N. 29

Маркировка сетей Петри (2) Маркировка μ, может быть также определена как n-вектор μ = (μ 1, μ 2, …, μn), где n = |P| и каждое μ i N, где i = 1, …, n. Вектор μ определяет для каждой позиции pi сети Петри количество фишек в этой позиции. Количество фишек в позиции pi есть μ i , i = 1, …, n. Связь между определениями маркировки как функции и как вектора очевидным образом устанавливается соотношением μ(pi) = μi. Обозначение ее в виде функции является несколько более общим и поэтому употребляется гораздо чаще. Маркированная сеть Петри M = (C, μ) есть совокупность структуры сети Петри С = (Р, Т, I, О) и маркировки μ и может быть записана в виде M = (Р, Т, I, О, μ). 30

Маркировка сетей Петри (3) На графе сети Петри фишки изображаются маленькой точкой в кружке, который представляет позицию сети Петри. На рисунке приведен пример графического представления маркированной сети Петри. Так количество фишек, которое может быть определено для каждой позиции, неограниченно, то в целом для сети Петри существует бесконечно много маркировок. Множество всех маркировок сети Петри, обладающей n позициями, есть множество всех n-векторов, Nn. Это 31 множество, хотя и бесконечно, является счетным.

Маркировка сетей Петри (4) Количество фишек в сети Петри редко превышает 5 или 6. В этом случае их рисуют. Однако, когда маркировка имеет 10, 20 или сотни фишек, приписанных позиции, в кружках удобнее не рисовать фишки, а указывать их общее количество, как на рисунке. 32

Правила выполнения сетей Петри (1) Выполнением сети Петри управляют количество и распределение фишек в сети. Фишки находятся в кружках и управляют выполнением переходов сети. Сеть Петри выполняется посредством запусков переходов. Переход запускается удалением фишек из его в входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых в eго выходные позиции. Переход может запускаться только в том случае, когда он разрешен. Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход. Кратные фишки необходимы для кратных входных дуг. 33

Правила выполнения сетей Петри (2) Фишки во входной позиции, которые разрешают переход, называются его разрешающими фишками. Например, если позиции p 1 и р2 служат входами для перехода t 4, тогда t 4 разрешен, если p 1 и р2 имеют хотя бы по одной фишке. Для перехода t 7 с входным комплектом {р6, р6} позиция р6 должна обладать по крайней мере тремя фишками, для того чтобы t 7 был разрешен. Определение 1. 6. Переход tj Т, в маркированной сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой μ разрешен, если для всех pi Р: μ ( pi ) ≥ #( pi, I(tj)). 34

Правила выполнения сетей Петри (3) Переход запускается удалением всех разрешающих фишек из его входных позиций и последующим помещением в каждую из его выходных позиций по одной фишке для каждой дуги. Кратные фишки создаются для кратных выходных дуг. Переход t 3 с I(t 3) = {р2} и O(t 3) = {р7, p 13} разрешен всякий раз, когда в p 2 будет хотя бы одна фишка. Переход t 3 запускается удалением одной фишки из позиции р2 и помещением по одной фишке в позиции р7 и в p 13 (его выходы). Дополнительные фишки в позиции р2 не влияют на запуск t 3 (хотя они могут разрешать дополнительные запуски t 3). Переход t 2; котором I(t 2) = {р21, p 22} и O(t 2) = {р23, p 25, p 25}, запускается удалением одной фишки из р21 и одной фишки из p 22, при этом одна фишка помещается в р23 и две – в p 25 (так как p 25 имеет кратность, равную двум). 35

Правила выполнения сетей Петри (4) Запуск перехода в целом изменяет маркировку μ сети Петри на маркировку μ'. Заметим также, что так как можно запустить только разрешенный переход, то при запуске перехода количество фишек в каждой позиции всегда остается неотрицательным. Запуск перехода никогда не удалит фишку, отсутствующую во входной позиции. Если какая-либо входная позиция перехода не обладает достаточным количеством фишек, то переход не разрешен и не может быть запущен. Определение 1. 7. Переход tj в маркированной сети Петри с маркировкой μ может быть запущен всякий раз, когда он разрешен. В результате запуска разрешенного перехода tj образуется новая маркировка μ', определяемая следующим соотношением: μ'( pi ) = μ( pi ) – #( pi, I(tj)) + #( pi, O(tj)). 36

Правила выполнения сетей Петри (5) В качестве примера рассмотрим маркированную сеть Петри, изображенную на рисунке. При такой маркировке разрешены переходы t 1, t 2, t 3. Переходы t 4, t 5, t 6 не разрешены – ни одна позиций р2, р3, р4, являющихся входами этих переходов, не имеют фишек. Ни один из переходов t 4, t 5, t 6 не может быть запущен. 37

Правила выполнения сетей Петри (6) Если запущен переход t 2, то происходит удаление фишки из единственного входа р1 и помещение двух фишек – по одной в выходы р2 и р3. Новая маркировка, полученная в результате запуска показана на рис. 1 на следующем слайде. Далее будем запускать последовательно разрешенные переходы t 4, t 5, t 6, t 3, t 5, t 6, t 1, t 4. Результирующая маркированная сети Петри представлена на рис. 2 на следующем слайде. 38

Правила выполнения сетей Петри (7) Рис. 1. После запуска перехода t 2 Рис. 2. Окончательная маркировка Запуски могут осуществляться до тех пор, пока существует хотя бы один разрешенный переход. Когда не остается ни одного разрешенного перехода, выполнение прекращается. Видим, что именно такая ситуация сложилась на последней маркировке. Для запуска перехода t 5 необходимо во входной позиции p 3 иметь две разрешающие фишки, а 39 имеется только одна.

Пространство состояний сети Петри (1) Состояние сети Петри определяется ее маркировкой. Запуск перехода изменяет состояние сети Петри посредством изменения маркировки сети. Пространство состояний сети Петри, обладающей n позициями, есть множество всех маркировок, т. е. N n. Изменение в состоянии, вызванное запуском перехода, определяется функцией изменения δ, которую мы назовем функцией следующего состояния. Когда эта функция применяется к маркировке μ (состоянию) и переходу tj, она образует новую маркировку (состояние), которая получается при запуске перехода tj в маркировке μ. Так как tj может быть запущен только в том случае, когда он разрешен, то функция δ(μ, tj) не определена, если tj не разрешен в маркировке μ. Если же tj разрешен, то δ(μ, tj) = μ', где μ' есть маркировка, полученная в результате удаления фишек из входов tj и добавлением фишек в 40 выходы tj.

Пространство состояний сети Петри (2) Определение 1. 8. Функция следующего состояния δ : Т → N n для сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой μ и переходом tj Т определена тогда и только тогда, когда μ(pi) ≥ #( pi, I(tj)) для всех pi Р. Если δ(μ, tj) определена, то δ(μ, tj) = μ', где для μ'( pi ) = μ( pi ) – #( pi, I(tj)) + #( pi, O(tj)) для всех pi Р. Пусть дана сеть Петри С = (Р, Т, I, О) с начальной маркировкой μ 0. Эта сеть может быть выполнена последовательными запусками переходов. Запуск разрешенного перехода tj в начальной маркировке образует новую маркировку μ 1 = δ(μ 0, tj). В этой новой маркировке можно запустить любой другой разрешенный переход, например tk, образующий новую маркировку μ 2 = δ(μ 1, tk). Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока в маркировке будет 41 существовать хотя бы один разрешенный переход.

Пространство состояний сети Петри (3) Если же получена маркировка, в которой ни один переход не разрешен, то никакой переход не может быть запущен, функция следующего состояния не определена для всех переходов, и выполнение сети должно быть закончено. При выполнении сети Петри получаются две последовательности: последовательность маркировок (μ 0, μ 1, μ 2, . . . ) и последовательность переходов. , которые были запущены (tj 0, tj 1, tj 2, . . . ). Эти две последовательности связаны следующим соотношением: δ(μk, tjk) = μk+1 для k = 0, 1, 2, . . Имея последовательность переходов и μ 0 легко получить последовательность маркировок сети Петри, а имея последовательность маркировок, легко получить последовательность переходов, за исключением нескольких вырожденных случаев. Таким образом, обе эти последовательности 42 представляют описание выполнения сети Петри.

Пространство состояний сети Петри (4) Пусть некоторый переход в маркировке μ разрешен и, следовательно, может быть запущен. Результат запуска перехода в маркировке μ есть новая маркировка μ'. Говорят, что μ' является непосредственно достижимой из маркировки μ, иными словами, состояние μ' непосредственно получается из состояния μ. Определение 1. 9. Для сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой μ маркировка μ' называется непосредственно достижимой из μ, если существует переход tj Т, такой, что δ(μ, tj) = μ‘. 43

Пространство состояний сети Петри (5) Можно распространить это понятие на определение множества достижимых маркировок данной маркированной сети Петри. Если μ' непосредственно достижима из μ, a μ" – из μ', говорят, что μ" достижима из μ. Определим множество достижимости R(С, μ) сети Петри С с маркировкой μ как множество всех маркировок, достижимых из μ. Маркировка μ' принадлежит R(C, μ), если существует какая-либо последовательность запусков переходов, изменяющих μ на μ'. Определение 1. 10. Множество достижимости R(C, μ) для сети Петри С = (Р, Т, I, О) ) с маркировкой μ есть наименьшее множество маркировок, определенных следующим образом: 1. μ R(C, μ); 2. Если μ' R(C, μ) и μ" = δ(μ', tj) для некоторого tj Т, то μ" R(C, μ). 44

Пространство состояний сети Петри (6) Для сети Петри, изображенной ниже, и маркировки μ = (1, 0, 0) непосредственно достижимыми являются две маркировки: (0, 1, 0) и (1, 0, 1). Из (0, 1, 0) нельзя достичь ни одной маркировки, так как ни один переход не разрешен. Из (1, 0, 1) можно получить (0, 1, 1) и (1, 0, 2). Не трудно убедиться, что множество достижимости R(C, μ) имеет следующий вид: {(1, 0, n), (0, 1, n) | n ≥ 0}. 45

Пространство состояний сети Петри (7) Удобно распространить функцию следующего состояния на отображение маркировки и последовательности переходов в новую маркировку. Для последовательности переходов (tj 1, tj 2, …, tjk) и маркировки μ маркировка μ' = δ(μ, tj 1, tj 2, …, tjk) есть результат запусков: сначала – tj 1, затем – tj 2 и т. д. до tjk. (Такая операция, конечно, возможна только в том случае, если каждый переход к моменту его запуска разрешен. ) Определение 1. 11. Расширенная функция следующего состояния определяется для маркировки μ и последовательности переходов σ Т*, где Т* – множество всех подмножества Т – булеан переходов следующими соотношениями: δ(μ, tj, σ) = δ(δ(μ, tj), σ), δ(μ, ) = μ. Обычно применяется эта расширенная функция. 46

Дерево достижимости (1) Дерево достижимости представляет собой множество достижимости сети Петри. Построим фрагменты дерева достижимости для следующей сети Петри 47

Дерево достижимости (2) Заметим, что правые ветви конечны: они все закачиваются маркировкой (0, 0, 1). По левой ветви дерево неограниченно: в левой вершине размещаются маркировки (1, n, 0), n N. 48