ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ Понятие о вычете Вычисление вычетов

ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ

Понятие о вычете. Вычисление вычетов • Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется число , где L – достаточно малая окружность , такая, что в круге нет других особых точек, кроме. В этом случае величина вычета не зависит от радиуса . Обозначение вычета (от французского resedum):

или . Теорема 1. Вычет равен коэффициенту разложения функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки , т. е. Следствие: вычет относительно устранимой особой точки равен нулю, так как главная часть ряда Лорана будет отсутствовать и.

• Пусть точка – простой полюс (k = 1) для функции f(z). Тогда разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности этой точки будет иметь вид , отсюда Пусть (2) , где P(z), Q(z) – аналитические функции в точке , причем т. е. для Q(z) точка является простым нулем, а для функции f(z) – простым полюсом. По формуле (2) получим:

т. е. Пусть точка – полюс кратности k для f(z)). Тогда разложение в ряд Лорана будет иметь вид

Или иначе (4) Дифференцируя выражение (4) k-1 раз и переходя к пределу при , получим (5) Формулы (2), (3) и (5) являются основными для вычисления вычетов от функции f(z) в точке , являющейся простым или кратным полюсом функции f(z).

Пример 1. Вычислить вычет Точка является простым полюсом для заданной функции, поэтому вычет может быть вычислен либо по формуле (2), либо по формуле (3). По формуле (2)

По формуле (3) Результаты вычисления по обеим формулам совпадают. Пример 2. Вычислить вычет Для заданной функции точка является полюсом кратности 3, поэтому вычисление ведём по формуле (5) при k=2:

• Вычисление вычета в бесконечно удалённой точке. Вычетом функции f(z) в бесконечно удаленной точке называется число где - некоторый контур, во внешности которого нет конечных особых точек функции f(z).

Т. к. ряд Лорана функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид, то (6) Пример 3. Вычислить вычет Разложим заданную функцию в ряд Лорана, а затем воспользуемся формулой (6):

Легко видеть, что , поэтому по формуле (6) Вычисление вычета в существенно особой точке осуществляется аналогично, путём разложения функции в ряд Лорана и определения коэффициента

Основная теорема о вычетах Теорема 7. 2. Пусть L - спрямляемый контур, и G область, ограниченная этим контуром. Пусть функция f(z) является аналитической области G за исключением конечного числа изолированных особых точек. Тогда (7)

Доказательство. Особые точки, расположенные внутри контура L, окружают окружностью, имеющей радиус ρk столь угодно малый, что все окружности не пересекаются между собой внутри области G, ограниченной контуром L. Для полученной таким образом многосвязной области, в которой функция f(z) является аналитической, применяют интегральную формулу Коши. Результат доказательства – формула (7)

Формула (7) позволяет значительно облегчить вычисление интегралов от функций комплексного переменного. Это вычисление можно свести к вычислению вычетов от подынтегральных функций относительно их особых точек.

Вычисление интегралов с помощью вычетов 1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру Решение этой задачи осуществляется путем прямого применения основной теоремы о вычетах (формулы (7). Пример 4. Вычислить интеграл Замкнутый контур представляет собой окружность с центром в начале координат радиуса R = 2. Внутри этой окружности расположены особые точки Точка является полюсом кратности 3, а точки и – простыми полюсами.

Применяя формулу (7) и формулы (2), (5), получим :

2. Вычисление интегралов типа Основная теорема о вычетах позволяет вычислять интегралы указанного типа , где R - рациональная функция своих аргументов. Пусть тогда. В соответствии с ранее известными формулами, получим

Когда t изменяется от 0 до 2 переменная z пробегает окружность. Следовательно где R 1 - некоторая рациональная функция от z. По основной теореме о вычетах (8)

где – полюсы функции R 1(z), попавшие внутрь окружности. Пример 4. Вычислить интеграл Проведём замену переменных тогда

Определим корни уравнения т. е Внутрь окружности попадает только корень который для подынтегральной функции является простым полюсом, поэтому по формулам (8) и (2) получим:

3. Вычисление интегралов типа Теорема 3. Пусть функция f(z) является аналитической всюду в верхней полуплоскости, кроме конечного числа особых точек, и на вещественной оси. Если при больших | z | и на вещественной оси выполняется неравенство , где c = const, > 0, то интеграл сходится, и где – все особые точки функции f(z), расположенные в верхней полуплоскости, т. е.

Сходимость интеграла ная, следует из неравенства интеграла и притом, абсолюти сходимости . Тогда вычисление такого интегра- ла можно свести к вычислению интеграла , где L – замкнутый контур, образованный полуокружностью, расположенной в верхней комплексной полуплоскости с центром в начале координат и имеющей бесконечно большой радиус, и осью x = Rez.

При R , поэтому (9) где – все особые точки функции f(z), расположенные в верхней полуплоскости, то есть

Пример 5. Вычислить интеграл Очевидно, что заданный интеграл сходится, т. к. = 1 >0, поэтому δ Определим корни уравнения Положительную мнимую часть имеет только корень z 1, являющийся простым полюсом для подынтегральной функции, поэтому по формулам (9) и (2) получим:

4. Вычисление интегралов типа Для вычисления таких интегралов необходимо выполнение леммы Жордана. Лемма. Пусть функция f(z) является аналитической в полуплоскости Imz a, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно относительно argz стремится к нулю при | z | на последовательности окружностей Ln, характеризуемых радиусом | z | = Rn и мнимой частью Imz a. Тогда для любого > 0

Суть леммы состоит в оценке величины интегралов по дугам AB, BCD, DE (см. рисунок ниже). Можно доказать, что при Rn → ∞ криволинейные интегралы по дугам AB, BCD, DE равны нулю, т. е.

Таким образом, вычисление интегралов типа может быть произведено по формулам: • при λ > 0 (10) • при λ < 0 (11)

Следствие. Если значения f(z) при вещественных z вещественны, то • (12) • (13) Пример 6. Вычислить интеграл Найдём корни уравнения

В соответствии с формулой (13), для вычисления заданного интеграла требуется корень с положительной мнимой частью являющийся простым полюсом для соответствующей подынтегральной функции f(z). Тогда для λ = 3 по формуле (13) получим