Теория вероятности математическая наука изучающая закономерности в

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – такое явление, которое при неоднократном повторении одного и того же опыта протекает каждый раз по-разному.

Пример случайного явления • Опыт: Подбрасывается симметричная монета. Явление: Выпадение «герба» или «решки» . • Опыт: Игроку предлагается выбрать одну из четырех карт. Явление: : игрок выбирает одну определенную карту из четырех предложенных. • Опыт: Бросается игральная кость. Явление: Выпадение конкретного числа на верхней грани кубика.

Пример случайного явления • Опыт: . Производится стрельба по мишени. Явление: : Величина расстояния места попадания от центра мишени. • Опыт: Одно и то же тело взвешивается на аналитических весах. Явление: результаты взвешивания.

Случайное событие – всякий факт, который может произойти или не произойти в данном опыте (при определенных условиях).

Случайное событие, примеры Выпадение «орла» при бросании монеты.

Случайное событие, примеры Выпадение трех «орлов» при троекратном бросании монеты.

Случайное событие, примеры Выпадение трех очков при бросании игральной кости.

Случайное событие, примеры Выпадение четного числа очков при бросании игральной кости.

Случайное событие, примеры Появление туза при вынимании карты из колоды.

Случайное событие, примеры Выпадение четного числа очков при бросании игральной кости.

Достоверное событие Событие – достоверное, если при данных условиях (в данном опыте) оно происходит всегда.

Невозможное событие Событие называется невозможным, если при данных условиях (в данном опыте) оно не происходит никогда.

Равновозможные события Несколько случайных событий в данном опыте называются равновозможными, если нет основания полагать, что одни из них появляются чаще, чем другие.

Элементарные события (случаи, исходы)– такие случайные события, одно из которых обязательно должно происходить в данном опыте, и они не происходят одновременно. (В данном опыте всегда происходит одно и только одно элементарное событие)

Элементарные события. Задача 1 Опыт: Подбрасывание симметричной монеты. • Элементарное событие 1: выпадение «орла» . • Элементарное событие 2: выпадение «решки» .

Элементарные события. Задача 2 • Опыт: Бросание игральной кости. • Элементарное событие 1: Выпадение одного очка. • Элементарное событие 2: Выпадение двух очков. • Элементарное событие 3: Выпадение трех очков. • Элементарное событие 4: Выпадение четырех очков. • Элементарное событие 5: Выпадение пяти очков. • Элементарное событие 6: Выпадение шести очков.

Благоприятствующие элементарные события. Случай (элементарное событие) называется благоприятствующим некоторому событию, если появление этого случая ведет к появлению этого события.

Пример благоприятствующего события • Опыт: Бросание игральной кости. • Событие: выпадение четного числа очков. • Благоприятствующее элементарное событие : выпадение двух очков. • Благоприятствующее элементарное событие : выпадение четырех очков. • Благоприятствующее элементарное событие : выпадение шести очков.

Вероятность P(A) события А в данном опыте равна частному от деления количества m(A) элементарных событий, благоприятствующих событию А, на количество n всех элементарных событий в данном опыте:

Вероятность m(А)- число благоприятствующих случаев n=общее число случаев

Вероятность. Задача 3 Найти вероятность того, что при бросании кости выпадет пять очков. n = 6; m(A) = 1;

Вероятность. Задача 4 Найти вероятность того, что при бросании кости выпадет число очков, меньше трех. n = 6; m(A) = 2;

Вероятность. Задача 5 В конфетнице лежит 12 конфет. Из них 3 конфеты «Золотое суфле» , 5 конфет «Ореховая роща» , 4 конфеты «Красная шапочка» . Гость взял одну конфету. Какова вероятность, что это конфета «Красная шапочка» ? n=12; m(A)=4;

Вероятность. Задача 6 В урне 4 белых шара и 2 черных шара. Из урны вынимают наудачу три шара. Найти вероятность того, что все три шара будут белыми.

Вероятность. Задача 7 В ящике лежит четыре черных носка и два синих. Какова вероятность наудачу достать два синих носка. m(A)=1

Вероятность. Задача 8 В ящике лежит шесть черных носков и четыре синих. Какова вероятность наудачу достать два синих носка.

Вероятность. Задача 9 В ящике лежит шесть черных носков и четыре синих. Какова вероятность наудачу достать два черных носка.

Задача 16 В коробке лежит шесть конфет, причем три из них - сорта «Золотые купола» . Какова вероятность того, что из двух взятых наудачу конфет окажется хотя бы одна конфета сорта «Золотые купола» .

Задача 17 На полке стоит 7 книг, из них 5 в мягких обложках. Библиотекарь достает с полки 3 книги. Какова вероятность, что среди них окажутся не менее двух книг в мягких обложках.

Частота (статистическое определение вероятности) Пусть производится подряд n опытов. В каждом из них может произойти, а может не произойти событие А. Пусть m – количество появлений события А. m – называется частотой события А. Тогда относительной частотой события А называется величина

Частота (примеры) Опыт1. Монета бросается 100 раз. Из них решка выпадает 47 раз. Относительная частота выпадения решки в этом случае:

Частота (примеры) Опыт1. Игральная кость бросается 100 раз. Из них 5 очков выпадает 19 раз. Относительная частота выпадения 6 очков в этом случае:

Несовместные события События А и В называются несовместными, если наступление события А ведет к невозможности наступления события В. Пример: выпадение четного количества очков в опыте бросания кисти и выпадение нечетного числа очков есть несовместные события

Сумма событий Суммой событий А и В называется такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно событие А или В. Вероятность суммы событий

Сумма событий (пример) Cобытие А = при бросании кости выпадет четное число очков. • • • Cобытие А 1 - выпадение 2 очков. Cобытие А 2 - выпадение 4 очков. Cобытие А 3 - выпадение 6 очков. А=А 1+А 2+А 3

Сумма событий (пример) Событие А 1 -в 2 -х детной семье два мальчика Событие А 2 -в 2 -х детной семье две девочки Событие А=А 1+А 2 в 2 -х детной семье двое детей одного пола.

Сумма событий (пример) Два стрелка стреляют по мишени. Событие А 1 – первый стрелок попал по мишени. Событие А 2 – второй стрелок попал по мишени. Событие А=А 1+А 2 – мишень поражена после того, как оба стрелка выстрелили по 1 разу.

Пересечение событий Пересечением (произведением) событий А и В называется событие А*В, которое состоит в том, что одновременно произошло и событие А и событие В Вероятность произведения событий

Пересечение событий (Пример) Бросаются две игральных кости. Событие А 1 – при бросании первой кости выпало четное число очков. Событие А 2 – при бросании второй кости выпало четное число очков. Событие А=А 1*А 2 - на обоих кубиках выпало четное число очков.

Пересечение событий (Пример) Событие А 1 – Таня сегодня в институт надела синий джемпер. Событие А 2 - Лена Сегодня в институт надела синий свитер. Событие А=А 1*А 2 – Лена и Таня пришли в одежде синего цвета.

Разность событий Разностью событий А и В является событие А В, состоящее в том, что осуществилось событие А, но не осуществилось событие В.

Противоположное событие Событием, противоположным событию А называется событие , состоящее в том, что не произошло событие А.

Вероятность суммы Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Сумма вероятностей. Задача 12. Найти вероятность того, что при бросании кости выпадет четное число. Решение: вероятность выпадения 2 – 1/6 вероятность выпадения 4 – 1/6 вероятность выпадения 6 – 1/6 Вероятность выпадения четного числа очков Р= 1/6+1/6 =1/2

Независимые события Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В.

Независимые события Опыт: Бросаются две монеты. • Событие А – появление герба на первой монете. • Событие А – появление герба на второй монете. События независимые.

Зависимые события Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В.

Зависимые события Опыт: Изучаются семьи с двумя детьми. Событие 1. Один ребенок в семье – мальчик. Событие 2. Оба ребенка в семье – мальчики. События зависимые.

Условная вероятность Вероятность события А, вычисленная в предположении, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью P(А|B)

Условная вероятность независимых событий Р(А)=Р(А|В) Р(В)=Р(В|А)

Зависимые события (пример) В ящике два белых шара и один красный. Два человека вынимают из урны по одному шару. • Событие А – появление белого шара у первого человека. • Событие В – появление белого шара у второго человека. Вероятность события В до того, как известно, что произошло событие А - 2/3. Если известно, что событие А произошло, вероятность события В – ½. А и В -зависимые события

Вероятность произведения событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В|А) Р(АВ)=Р(В)*Р(А|В) Произведение (пересечение) событий

Задача 13 Подбрасываются два кубика. Какова вероятность, что на верхних гранях обоих кубиков выпадет нечетное число очков? Р(А)=Р(А 1)*Р(А 2)=1/2*1/2=1/4

Вероятность суммы событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Сумма событий

Сумма вероятностей. Задача 11. Дважды подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпало 6 очков? P(A 1+A 2)=1/6+1/61/6*1/6=11/36

Задача 14 Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0, 6. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник? А 1 – вероятность того, что в течение суток будет обнаружен первый преступник, Р(А 1)=0, 6 А 2 – вероятность того, что в течение суток будет обнаружен второй преступник, Р(А 2)=0, 6 С – будет обнаружен хотя бы один преступник, - не будет обнаружен ни один преступник

Задача 14 А 1– вероятность того, что в течение суток не будет обнаружен первый преступник, Р(А 1)=1 -0, 6=0, 4 А 2 – вероятность того, что в течение суток не будет обнаружен второй преступник, Р(А 2)=1 -0, 6=0, 4 События независимые. Р(С) = Р(А 1)*Р(А 2)=0, 4*0, 4=0, 16 Р(С)=1 -0, 16=0, 84

Задача 15 Устройство состоит из двух блоков. Вероятность отказа первого блока – 0, 1, вероятность отказа второго блока – 0, 2. Устройство не работает, если отказал хотя бы один из блоков. Найти вероятность отказа устройства. Р=1 -(1 -0, 1)*(1 -0, 2)=0, 28

Литература • Математика и информатика: Учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов / В. Д. , Будаев, Н. П. Стефанова, Е. Ю. Яшина и др. ; Под ред. В. Д. , Будаева, Н. П. Стефановой. М. : Высшая школа, 2004. - 349 с. • А. Ф Холтыгин, Н. Я. Сотникова. Введение в математику и информатику. Изд-во С-Пб унта, 2003. -138 с. • В. И. Бажанов. Математика и информатика: Учебное пособие. -, М. : МГИУ, 2005. -186 с. • http: //www. wikipedia. org/