Теория вероятностей в ГИА и ЕГЭ Решение

Теория вероятностей в ГИА и ЕГЭ

Решение задач на вероятность. u u u u Вася, Петя , Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Решение. Элементарное событие – участник, который выиграл жребий. Случайный эксперимент – бросание жребия. Общее число элементарных событий N равно 4. Событию А={ жребий выиграл Петя } благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N (А ) =1. Тогда Р ( А ) = N ( A )/ N =¼= 0, 25. Ответ: 0, 25

Реши сам аналогичные задачи. u u Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама. Ответ: 0, 25 Женя, Леня, коля, Ваня и Федя бросили жребий – кому идти в магазин. Найдите вероятность того. Что в магазин надо будет идти Лене. Ответ: 0, 2

Решим задачу. u В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии. Решение. Из Белоруссии участвует 50 –(18+14)=18 спортсменов. Общее число элементарных событий N = 50, а N (A)=18. Следовательно P (A)= N ( A )/ N = 18/50 = 0, 16 u Ответ: 0. 16. u u

Реши сам аналогичную задачу. u В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 30 из Сербии, 18 из Хорватии, остальные — из Словении. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Словении. u Ответ: 0, 25

Реши сам аналогичную задачу. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 5 из Аргентины, 18 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая. u Ответ: 0, 425 u

Решим задачу. u В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение. Всего событий N=4+7+9+5=25 Событию А={последний из Швеции} благоприятствуют 9 исходов. Поэтому N(A)=9. Следовательно Р (А) = N (A)/ N =9/25=0, 36 u Ответ: 0, 36.

Решим задачу. u В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. u Решение. Количество насосов, которые не подтекают 1000 -5=995. Следовательно Р (А) = N (A)/ N =995/1000=0, 995. Ответ: 0, 995. u u

Реши сам аналогичную задачу. u u u В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Ответ: 0, 992 В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. u Ответ: 0, 993

Реши сам аналогичную задачу. u u Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0, 16.

Реши задачу. u u u В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение. Элементарное событие N = 55 Событию А={достанется вопрос по ботанике}благоприятствуют 11 исходов. Следовательно P (A)= N ( A )/ N = 11/55=0, 2. Ответ: 0, 2.

Реши сам аналогичные задачи. u u В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 20 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам. Ответ: 0, 4. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по рекам и озерам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по рекам и озерам. Ответ: 0, 8.

Реши задачу. u u u В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Решение. Элементарное событие N = 25 Cобытию А={не достанется вопрос по неравенствам}благоприятствуют 25 -10=15 исходов. Следовательно P (A)= N ( A )/ N = 15/25=0, 6. Ответ: 0, 6.

Реши сам аналогичные задачи. u u В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной. Ответ: 0, 65. В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору. Ответ: 0, 6.

Решим задачу. u Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. u Решение: u Общее количество сумок 100 + 8 = 108 Общее число элементарных событий N =108, а N (A)=100. Следовательно P (A)= N ( A )/ N = 100/108 = 0, 925…≈0, 93 u Ответ: 0, 93 u u u

Реши сам аналогичную задачу. u u Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 91. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 110 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 96.

Решим задачу. u Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4? Решение. Случайный эксперимент бросание кубика. Общее число элементарных событий N =6, а событию А ={выпало больше чем 4} благоприятствуют два элементарных события 5 и 6. Поэтому N (A)=2. Следовательно P (A)= N ( A )/ N = 2/6 = 1/3 u Ответ: 1/3 u u

Реши сам аналогичные задачи. u u В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число. Ответ : 0, 5. Игральный кубик бросают один раз. Какова вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу. Ответ: 1/3

Таблица суммы выпавших очков при бросании двух игральных костей. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 12

Решим задачу. u В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. u u Решение. Мы знаем что всего N=36 элементарных событий ( при бросании двух костей). Количество клеток в которых сумма равна 8 пять. Следовательно N(A)=5. P (A)= N ( A )/ N = 5/36=0, 138≈0, 14. u Ответ: 0, 14. u

Реши сам аналогичные задачи. u u В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 17.

Решим задачу. u В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. u Решение. Орел обозначим буквой О. Решку – буквой Р При бросании одной кости возможны варианты: ОО, ОР, РО, РР. Следовательно, N=4 Интересующему нас событию А ={орел выпадет ровно один раз} благоприятствуют события ОР, РО. N (A)=2 P (A)= N ( A )/ N = 2/4=0, 5 u Ответ: 0, 5. u u u

Решим задачу. u В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. u u Получаем: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. N =8. N(A)=3. Значит P (A)= N ( A )/ N = 3/8=0, 375 u Ответ: 0, 375. u u

Решим задачу. u u u u В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике в вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение. Общее число элементарных событий N =16. Событию А={команда России во второй группе} благоприятствуют 4 карточки с номером « 2» , то есть N(A)=4 Значит P (A)= N ( A )/ N = 4/16=0, 25. Ответ: 0, 25.

Реши сам аналогичные задачи. u u В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, В, С и D. Какова вероятность того, что команда России попадет в группу А? Ответ: 0, 25. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, В, С и D. Какова вероятность того, что команда России не попадет в группу А? Ответ: 0, 75.

Решим задачу. u u u В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-английски? Решение: Общее число элементарных событий N =20. Событию А={турист говорит по -английски} благоприятствуют 7 событий, то есть N(A)=7. Значит P (A)= N ( A )/ N = 7/20=0, 35. Ответ: 0, 35.

Решим аналогичные задачи. u u В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и поанглийски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски? Ответ: 0, 25. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и поанглийски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит хотя бы на одном иностранном языке? Ответ: 0, 5.

Решим задачу. u u u В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0, 3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах Решение Определим события А = {кофе закончится в первом автомате}, В = {кофе закончится во втором автомате}. По условию задачи Р(A) = Р(В) = 0, 3 и Р(А В) = 0, 12. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события Аи. В = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}: Р = Р(А) + Р(В) - Р(А В) = 0, 3 + 0, 3 - 0, 12 = 0, 48. Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна 1 - 0, 48 = 0, 52. Ответ: 0, 52

Решим аналогичные задачи. u u В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0, 45. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 3. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах Ответ: 0, 4 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0, 8. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 96. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах Ответ: 0, 36

Решим задачу. u u u Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0, 1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение. Определим событие А = {выбранная ручка пишет хорошо}. Известна вероятность противоположного события: Р(А) =0, 1. Используем формулу вероятности противоположного события: Р(A) = 1 - 0, 1 = 0, 9. Ответ: 0, 9.

Решим аналогичные задачи. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0, 46. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. u Ответ: 0, 54 u Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0, 07. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. u Ответ: 0, 93 u

Решим задачу. u u На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность» равна 0, 2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм» равна 0, 15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение: Определим события А = {вопрос на тему «Вписанная окружность» }, В = {вопрос на тему «Параллелограмм» }. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно. Событие С = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: С = А и В. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: Р(С) = Р(A)+Р(В) = 0, 2 + 0, 15 = 0, 35. Ответ: 0, 35.

Решим аналогичные задачи u u На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Теорема Пифагора» равна 0, 64. Вероятность того, что это вопрос на тему «Трапеция» равна 0, 2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0, 84 На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Подобие треугольников» равна 0, 56. Вероятность того, что это вопрос на тему «Векторы» равна 0, 27. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0, 83

Решим задачу Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле» , «попал при втором выстреле» и т. д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0, 8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 -0, 8=0, 2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность = {попал, промахнулся} имеет вероятность P(A)= 0, 8*0, 2= 0, 83 * 0, 22=0, 512*0, 04=0, 02048=0, 02 Ответ: 0, 02

Решим аналогичные задачи. u u Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 07 Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 4. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние 3 раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: 0, 08

Решим задачу. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов. Найдем вероятность противоположного события = {оба автомата неисправны}. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий : . Значит, вероятность события = {хотя бы один автомат исправен} равна.

Решим аналогичные задачи. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 75 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. u Ответ: 0, 4375 u В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 36 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. u Ответ: 0, 8704 u

Решим задачу. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. u Решение. u Элементарный исход - случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N=1000. Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 -6 = 994 исхода. Поэтому N (А) = 994. Тогда Р(А) = N(A)/N=994/1000=0, 994. u Ответ: 0, 994. u

Решим аналогичные задачи. В среднем из 500 аккумуляторов, поступивших в продажу, 8 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. u Ответ: 0, 984 u В среднем из 4000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 68 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. u Ответ: 0, 983 u