Теория вероятностей Определение Событие всякий факт

Теория вероятностей

Определение. Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Обозначение: A, B, C и т. д.

Классификация событий Достоверное событие, которое при повторении опыта обязательно произойдет Невозможное событие, которое при повторениях опыта никогда не происходит Случайное событие, которое при повторении опыта иногда происходит, иногда нет

Полная группа событий – несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Противоположные события – два несовместных события, образующих полную группу событий ( и ).

Сумма событий А 1, А 2, …, Аn – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий Обозначение: А 1+ А 2 +…+Аn = А 1 А 2 … Аn Произведение событий А 1, А 2, …, Аn – событие, состоящее в появлении всех этих событий Обозначение: А 1·А 2 · … ·Аn = А 1 А 2 … Аn

Классическое определение вероятности Пусть A – некоторое событие. Случай называется благоприятным событию А, если появление этого случая влечет появление события А. Тогда вероятностью события A называется число где m - число благоприятных событию А случаев, n число всех случаев в данном опыте.

Свойства вероятности • Вероятность любого события А есть число Р(А), удовлетворяющее неравенствам • Вероятность достоверного события равна единице. • Вероятность невозможного события равна нулю.

Основные теоремы Теорема 1. (Теорема сложения вероятностей) Р(А+B)= Р(А) + Р(B) – Р(А B) Следствие 1. Р(А 1+А 2+А 3+. . . +Аn)= Р(А 1) + Р(А 2) + Р(А 3) +. . . + Р(Аn) - Р(А 1 А 2) - Р(А 1 А 3) - Р(A 2 A 3) -. . . - P(An-1 An) + P(A 1 A 2 A 3) + P(A 1 A 2 A 4) +. . . + P(An-2 An-1 An) -. . . + (-1)n-1 P(A 1 A 2. . . An). Следствие 2.

Определение. Условной вероятностью Р(А/В) события А относительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло. Теорема 2. (Теорема умножения вероятностей) Р(А B)= Р(B) Р(A/B) = Р(А) Р(B/A) Следствие 1. Р(А 1 А 2 А 3. . . Аn) = Р(А 1) Р(А 2/А 1) Р(А 3/А 1 А 2) … Р(Аn/А 1 А 2 А 3. . . Аn-1). Следствие 2. Пусть A и B – независимые события. Тогда Р(А B)= Р(A) Р(B).

Формула полной вероятности Пусть несовместные события B 1, B 2, . . . , Bn образуют полную группу. Событие А может появиться только вместе с одним из этих событий. Если известны вероятности гипотез Р(Bi) и условные вероятности Р(А/Bi), где i = 1, 2, …, то

Формулы Байеса Пусть в условиях предыдущей теоремы событие А наступило и мы нашли вероятность Р(А). Спросим, как изменились вероятности гипотез в связи с появлением события А, т. е. найдем Р(Bi /А), где i=1, 2, . . . , n.

Формула Бернулли Производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Найдем вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно k раз. Pn(k) = pk (1 -p)n – k

Случайные величины Случайной величиной Х в данном опыте называется переменная величина, которая в результате испытания примет одно из своих возможных значений, но какое именно до проведения опыта неизвестно. Спектр - совокупность всех возможных значений случайной величины. Дискретный спектр - все возможные значения случайной величины образуют конечную или бесконечную последовательность. Непрерывный спектр - все значения случайной величины заполняют сплошь некоторый промежуток.

Функция распределения Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. F(x)=P(X<x). Свойства F(x): 1) 0 < F(x) 1, 2) F(- )=0, т. к. P(X<- )=0, 3) F(+ )=1, т. к. P(X<+ )=1, 4) F(x) – неубывающая функция. Будем считать, что F(x) непрерывна слева. 5) Р( X< )=F( )-F( ).

Дискретная случайная величина Определение. Случайная величина Х называется дискретной, если ее спектр дискретный. Законом распределения случайной величины Х называется любая ее вероятностная характеристика, из которой можно получить функцию распределения F(x). Ряд распределения

Многоугольником распределения назовем ломаную, соединяющую последовательно точки (х1; р1), (х2; р2), . . . , (хn; рn). . .

Непрерывные случайные величины Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна и имеет непрерывную производную везде, кроме, быть может, конечного числа точек. Непрерывная случайная величина имеет непрерывный спектр (если случайная величина имеет непрерывный спектр, то из этого не следует, что она непрерывна). Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, то случайная величина называется смешанной.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X называется функция f(x) равная f(x)=F’(x). Свойства плотности • • •

Основные числовые характеристики Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины Х называется число Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется число

Свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т. е. М(C)=С. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М(СX)=СM(X). 3. М(X+Y)=M(X)+M(Y). 4. М(XY)=M(X)M(Y) для независимых случайных величин X и Y.

Дисперсией случайной величины Х называется число, характеризующее степень разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания, обозначаемое D(X), равное D(X)=M((X-M(X))2). Замечание. D(X)=M(X 2) – (M(X)) 2. Свойства дисперсии. 1. D(C)=0. 2. D(СX)=С 2 D(X). 3. D(X+Y)=D(X)+D(Y) для независимых случайных величин X и Y.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число x = , где Dx=D(X). Среднее квадратическое отклонение x также характеризует степень отклонения возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания, но имеет размерность случайной величины.