Скачать презентацию Теория вероятностей Лекции по математике Рекомендуемая литература Скачать презентацию Теория вероятностей Лекции по математике Рекомендуемая литература

Презентация 4.ppt

  • Количество слайдов: 27

Теория вероятностей Лекции по математике Теория вероятностей Лекции по математике

Рекомендуемая литература n Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М. : Рекомендуемая литература n Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001. n Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М. : В. Ш. , 2002. n Тимошина И. Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПб. ГУСЭ, 2007. 2

Содержание n Приближённые формулы теории вероятностей n Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых Содержание n Приближённые формулы теории вероятностей n Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний n Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события 3

Приближённые формулы теории вероятностей n При больших n использование формулы Бернулли затруднительно. n В Приближённые формулы теории вероятностей n При больших n использование формулы Бернулли затруднительно. n В этих случаях используют либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа), либо формулу Пуассона, либо интегральную формулу Лапласа. 4

Пример n Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие наступит 70 Пример n Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном испытании p=0, 25 n Решение. По формуле Бернулли: Мы столкнулись с ситуацией, что несмотря на наличие точной вычислительной формулы, воспользоваться ею затруднительно!!! n Для решения задач, в которых количество испытаний велико, применяют приближённые формулы. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 5

Локальная теорема Лапласа n Если в серии независимых испытаний количество испытаний n велико (npq>20), Локальная теорема Лапласа n Если в серии независимых испытаний количество испытаний n велико (npq>20), то можно пользоваться приближённой формулой: 6

Свойства функции f(x) 1. Функция f(x) – чётная, т. е. f(-x)= f(x) 2. . Свойства функции f(x) 1. Функция f(x) – чётная, т. е. f(-x)= f(x) 2. . 4. Значения функции f(x) табулированы в диапазоне [0, 5] (таблица) 5. Для |x|≥ 5 можно считать, что f(x)≈0 6. График функции f(x) имеет вид: 7

Формула Лапласа 8 Формула Лапласа 8

Пример n Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие наступит 70 Пример n Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном испытании p=0, 25 n Решение. Применим для решения формулу Лапласа. n=243 m=70 p=0, 25 q=0, 75 Таблица © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 9

Формула Пуассона n Если событие А очень маловероятно, т. е. величина p (или q) Формула Пуассона n Если событие А очень маловероятно, т. е. величина p (или q) очень маленькая, то может оказаться, что величина npq мала даже при значительном количестве испытаний n (напомним, что формула Лапласа даёт хорошее приближение, если npq>20). n В этом случае применяют формулу Пуассона: 10

Формула Пуассона n Число называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает «закон редких, Формула Пуассона n Число называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает «закон редких, но массовых явлений» . 11

Пример Завод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность того, что в Пример Завод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0, 0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. По условию n=5000; p=0, 0002; q=0, 9998 Значение npq = 5000∙ 0, 0002∙ 0, 9998≈1<20. Формула Лапласа имеет значительную погрешность! Поэтому применим формулу Пуассона: λ=np=5000∙ 0, 0002=1 12

Пример n Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. Пример n Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. n Решение. Вероятность данного события можно вычислить по формулам Бернулли: P 100(47≤ m ≤ 57)=P 100(47)+P 100(48)+…+P 100(57)= =С 10047 p 47 q 53+С 10048 p 48 q 52+…+С 10057 p 57 q 43 Несмотря на наличие точной вычислительной формулы, воспользоваться ею затруднительно!!! © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 13

Интегральная теорема Лапласа n Вероятность того, что в серии независимых испытаний событие произойдёт не Интегральная теорема Лапласа n Вероятность того, что в серии независимых испытаний событие произойдёт не менее k 1 раз и не более k 2 раз, т. е. Pn (k 1≤m≤k 2) вычисляется по формуле: 14

Свойства функции Ф(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Область определения ( ∞; +∞) Свойства функции Ф(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Область определения ( ∞; +∞) Область значений ( 0, 5; 0, 5) Функция Ф(x) нечетная: Ф(-x)=-Ф(x). Функция Ф(x) неубывающая функция Ф(x) табулирована в диапазоне [0; 5] (таблица) Для x>5 можно с высокой степенью точности считать, что Ф(x)=0, 5 15

Пример n Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. Пример n Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. n Решение. Применим интегральную теорему Лапласа: n=100; k 1=47; k 2=57; p=0, 5; q=0, 5; Ответ. Р 100(47

Наивероятнейшее число появлений события Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0, Наивероятнейшее число появлений события Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0, 2. Найти вероятности возможного числа появлений бракованных деталей среди 5 отобранных. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 1. p=0, 2; q=0, 8 2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли: 17

Наивероятнейшее число появлений события Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически точками с координатами Наивероятнейшее число появлений события Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически точками с координатами (m, P 5(m)) Рассматривая многоугольник 0, 3 распределения, мы видим, 0, 2 что есть значение mо, 0, 1 обладающее наибольшей вероятностью. Число 1 2 3 4 5 называют наивероятнейшим числом наступлений события 18

Наивероятнейшее число появлений события © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 19 Наивероятнейшее число появлений события © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 19

Наивероятнейшее число появлений события n Для нахождения значения mо в общем случае запишем систему Наивероятнейшее число появлений события n Для нахождения значения mо в общем случае запишем систему неравенств: n Решим первое неравенство, воспользовавшись формулой Бернулли : 20

Наивероятнейшее число появлений события Проведя необходимые сокращения, получим: 21 Наивероятнейшее число появлений события Проведя необходимые сокращения, получим: 21

Наивероятнейшее число появлений события Решая второе неравенство, получим: Объединяя полученные решения, придём к двойному Наивероятнейшее число появлений события Решая второе неравенство, получим: Объединяя полученные решения, придём к двойному неравенству: 22

Пример n Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0, 2. Найти Пример n Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0, 2. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из пяти отобранных. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» n Решение. Применим формулу: 5∙ 0, 2 0, 8≤mo≤ 5∙ 0, 2+0, 2 ≤ mo ≤ 1, 2 Ответ. mo=1 23

Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события n Пусть проводится серия из независимых Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события n Пусть проводится серия из независимых испытаний. Вероятность появления события А в каждом из этих испытаний равна p. n Тогда частота (относительная частота) этого события равна m/ n. n Очевидно, что частота события является случайной величиной. Она может оказаться как больше вероятности события p, так и меньше этой вероятности. 24

Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события n Рассмотрим модуль разности этих величин: Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события n Рассмотрим модуль разности этих величин: Выберем некоторое число ε>0. n Задача. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по модулю не превосходит числа ε, т. е 25

Решение В соответствии с приближённой формулой Лапласа: = © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые Решение В соответствии с приближённой формулой Лапласа: = © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 26

Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события 27 Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события 27