Теория вероятностей и математическая статистика ТВи МС 2

Теория вероятностей и математическая статистика (ТВи. МС) 2. Определение вероятности Основным свойством случайного события является степень возможности его появления; именно от нее зависит, насколько часто событие будет появляться при повторении испытаний. Численной мерой этого свойства и является вероятность.

План лекции 1. Повторение. 2. Проверочная работа. 3. Некоторые дополнения к предыдущей лекции. 4. Классическое определение вероятности. 2

Повторение 3

Вспомним • Эксперимент заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов. • Эксперимент называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз. 4

Вспомним • Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом. • Событием, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством. • Часто понятия отождествляют. «исход» и «событие» 5

Вспомним • Элементарным событием (исходом) называется один из взаимоисключающих друга вариантов, которыми может завершиться случайный эксперимент, т. е. исход, неделимый на более мелкие исходы. Например, выпадение числа 1 при бросании игрального кубика. (Аналогично для других граней. ) 6

Вспомним • Любое неэлементарное событие будет состоять из некоторого множества исходов, которые называются благоприятными для этого события. • Благоприятны они в том смысле, что приводят к наступлению данного события. Например, событию: выпадение четного числа очков при бросании игрального кубика, ― благоприятствуют исходы: выпадение или 2 или 4 или 6 очков 7

Вспомним • Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. • В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, • а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, ― невозможным. 8

Вспомним • Равновозможными называются события, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. • Выпадение «орла» / «решки» . • Выпадение 1, 2, 5 очков при бросании кубика. • Падение кнопки острием/шляпкой (неравновозможные события). 9

Проверочная работа Вам понадобится чистый листок и ручка. 10

Проверочная работа 1. Приведите пример элементарного и неэлементарного событий на примере вытаскивания карт из колоды. 2. Приведенные ниже события являются случайными, достоверными или невозможными при бросании игральной кости? а) выпадение числа 1 или 6; б) выпадение числа от 1 до 8; 3. Экспериментально установлено, что частота появления «орла» при бросании монеты сходится к 0, 5. Означает ли это: а) появление 5 «орлов» при 10 бросаниях монеты; б) после комбинации ОРОРООР… должна выпасть «решка» ? 11

Дополнения к теме Основные понятия ТВ 12

Статистический эксперимент, его исходы и события • События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. • События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании. • События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. 13

Статистический эксперимент, его исходы и события • События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D… • Полной системой (группой) событий А 1, А 2, А 3, … , Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании. • Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события являются противоположными и обозначаются А и . 14

Статистический эксперимент, его исходы и события • В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными: А ― достали пронумерованный шар достоверное B ― достали шар с четным номером C ― достали шар с нечетным номером D ― достали шар без номера противоположные невозможное 15

Статистический эксперимент, его исходы и события • Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями ( «шансами» ). • Выпадение «орла» / «решки» . • Выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. 16

Биография Пачоли 1. Предыстория 5 тыс. лет до н. э. 2. 3. Расширение 4. Возникновение областей как науки применения «Русская наука» к. 15 -16 в. нач. 18 в. сер. 19 в. 5. Современный этап развития нач. 20 в. 17

Биография • к. 15 ― н. 16 в. задача о разделе ставки при незавершённой игре Страна: Италия Научная сфера: математика, экономика Известен тем, что: В 1494 году напечатал две книги: «Сумма знаний по арифметике, геометрии, учение о пропорции и пропорциональном» , в которой впервые описываются письменные приемы счета и используются арабские цифры, и «Трактат о счетах и записях» – самую первую книгу по бухгалтерскому учету. В ней впервые сформулирован основной принцип бухгалтерии – принцип двойной записи. В 1509 году в Венеции издана книга «Божественная пропорция» Лука Пачоли (1445 -1517) 18

Биография Художник Якопо де Барбари. Италия. Около 1510 года 19

Классическое определение вероятности Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события. 20

Классическое определение вероятности • Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А). • Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных). 21

Классическое определение вероятности где Р(А) ― вероятность события А, m ― число исходов, благоприятных для события А, n ― общее число несовместных единственно возможных и равновозможных исходов. 22

Классическое определение вероятности • Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n. 23

Классическое определение вероятности Из этого определения вытекают следующие свойства: 1. Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы. Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим 2. Вероятность достоверного события равна единице, т. к. 3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку 24

Задача 1 • В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? 25

Задача 2 • Вычислить вероятности всех возможных значений суммы очков, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Сначала вычислим общее число возможных исходов. Их будет 36 (каждая цифра, выпадающая на первой игральной кости, может складываться с шестью различными цифрами, выпадающими на второй игральной кости). 26

Задача 2 Эти исходы отвечают трем требованиям, предъявляемым классической вероятности. Они несовместны, т. к. появление одного исхода исключает появление других в единичном испытании. Они единственно возможны, т. к. при одном подбрасывании двух игральных костей возможен один и только один из этих исходов. Они равновозможны, т. к. в силу случайного падения игральных костей нет никаких оснований считать какой-либо исход более возможным, чем другие. Выполнение трех перечисленных требований позволяет использовать классическое определение для подсчета 27 вероятности.

Задача 2 Появлению числа 2 (как и числа 12) благоприятствует всего один исход, появлению числа 3 благоприятствуют уже два исхода (1+2, 2+1). Продолжая вычисления аналогичным образом, все полученные результаты представим в следующем виде: 28

Задача 3 Шевалье де Мере. • При бросании трех костей подсчитал, что 11 очков можно получить шестью различными способами 6 -4 -1, 6 -3 -2, 5 -5 -1, 5 -4 -2, 5 -3 -3, 4 -4 -3 • и 12 очков также можно получить шестью способами 6 -5 -1, 6 -4 -2, 6 -3 -3, 5 -5 -2, 5 -4 -3, 4 -4 -4. • А так как число исходов, при которых получаются в сумме 11 и 12 очков равны между собой, то и вероятности получения 11 и 12 очков тоже должны быть равны между собой! (? ) 29

Задача 3 • Но, наблюдая в течение длительного времени за игрой в кости и тщательно подсчитывая возможные исходы игры, заметил, что те, кто ставит на 11 очков, выигрывает чаще, чем те, кто ставит на 12! • Вот здесь и возникает противоречие между расчетами и реальными шансами на выигрыш. 30

Задача 3 Блез Паскаль • Дело в том, что исходы, которые рассматривал де Мере, не являются равновозможными. • Например, комбинация 6 -4 -1 может возникнуть при шести различных исходах бросания костей (641), (614), (461), (416), (164), (146). • В то же время комбинация 4 -4 -4 возникает при единственном исходе (444). Нетрудно вычислить количество способов выпадения суммы от 3 до 18 при бросании трех костей. 31

Задача 3 • Всего же при подбрасывании трех игральных костей возможно 6 • 6 = 216 несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов. • Появлению события А (сумма выпавших очков равна 11) благоприятствуют 27 исходов, поэтому • Появлению события В (сумма выпавших очков равна 12) благоприятствуют 25 исходов, поэтому 32

КОНЕЦ – Доктор, а эта операция очень опасна? – Да. – Значит, я умру? – Нет, что, вы! Вероятность летального исхода — 90%, а 9 человек уже умерли. 33