Теория вероятностей и математическая статистика ТВ МС

Теория вероятностей и математическая статистика ТВ & МС Татьяна Васильевна Ляшенко профессор, доктор технических наук Кафедра прикладной и вычислительной математики и САПР

Дифирамб ! the world ТВ & МС представляют Круг Шар количественные основания для принятия Позволяют оценить решений технологический, в условиях политический и неопределеннос деловой риск, ти обеспечить e way s Japane e miracle panes Ja надежность и качество

А зачем это нужно нам ? ТВ & МС – основа Статистики, которая «нужна менеджеру, как умение писать» Бум! (см. Amstat News) Конкуренция, скорость внедрения новых технологий и продуктов требуют, а компьютерная статистика позволяет массово использовать «статметоды» Выдающиеся достижения в экономике связаны с матстатистикой (Нобелевские лауреаты) У нас – зачетная РГР (КР)!

Литература Основная (есть в библиотеке академии + новая) Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высшая школа (несколько изданий) Lyashenko T. V. Elements of Probability Theory and Mathematical Statistics. К. , 1994. Статистика. Методическое пособие для студентов экономических специальностей. Составитель Ляшенко Т. В. – Одесса, 2001. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика (для экономистов). – М. : Юнити, 2000, 2007. Статистика для менеджеров с использованием MS EXCEL. 4 -ое изд. / Д. Левин, Д. Стефан, Т. Кредиль, М. Беренсон. – М. : Вильямс, 2005. – 1312 с.

Дополнительная Вентцель Е. С. , Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. : Наука. 1988. Hanke J. E. and Reitsch A. G. Understanding Business Statistics. IRWIN, Homewood, Boston, 1991. Большев Л. Н. , Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. – М. : Наука, 3 -е изд. , 1983. Растригин Л. А. По воле случая. М. : Молодая гвардия, 1986.

1 Основные понятия теории вероятностей Определения и свойства Ключевые слова вероятности случайное явление эксперимент случайное событие достоверное и невозможное события вероятность события

Ключевые слова продолжение статистическое определение вероятности массовые однородные испытания абсолютная и относительная частота закон больших чисел теорема Бернулли оценка практически достоверное событие практически невозможное событие уровень значимости (риск) a posteriori

Ключевые слова продолжение a priori модель эксперимента (мысленный эксперимент) элементарное событие множество элементарных событий составное событие аксиоматическое определение вероятности классическое определение вероятности равновозможные события алгебра событий

1. 1 Эксперимент, событие, вероятность Случайные явления – происходящие в той или иной степени по-разному при «повторении» условий Примеры: Работа двух «одинаковых» технологических линий, фирм… обта При ании тока чив. Сколько случайности? рном на стан Образцы ке Случайные Нужна Математика! одного бетона различия в имеют разную т 1 до 6 О результатах при прочность при росании воспроизведении б усдовий! кости

ТВ & MC Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях Математическая статистика – основанные на теории вероятностей математические методы извлечения информации, необходимой для решения практических задач, из статистических данных

Изучают случайный эксперимент В ТВ эксперимент (испытание, наблюдение, опыт) определяется комплексом условий его проведения и всеми возможными исходами И с х о д ы Предмет ТВ эксперимент со случайным исходом Случайное событие (событие) Условия всякий факт, который может иметь или не иметь место в эксперименте (при реализации определенных условий)

Примеры «эксперимент событие» выпадение герба 2) бросание кости нечетная цифра 3) выстрел в цель промах 4) несколько выстрелов 2 попадания 5) из урны с черными и белый шар белыми шарами наугад 1 1) бросание монеты 6) подготовлен товар 7) изготовлен материал 8) работа водопровода 9) землетрясение объем продаж < 1000 ед. разрушение при 40 МПа разрыв участка трубы отсутствие разрушений

События бывают: Случайное – может наступить или не наступить Событие, которое неизбежно наступает в эксперименте – достоверное Если событие в эксперименте наверняка не может наступить, его называют невозможным. Случайное – между невозможным и достоверным – может быть, а может и не быть. Степень объективной возможности его наступления выражают числом. Эту числовую меру случайности называют вероятностью

Вероятность события – число, которое определяет степень объективной возможности его наступления в эксперименте События обозначают : A, B, C, … Вероятность события A обозначается P(A) или PA или Pr (A) Характеризует Придумана, но возможность события отражает объективную «быть или не быть» реальность Мера возможности объекта находиться в том состоянии, при котором событие имеет место

2 пути определения вероятности Эмпирический (статистический) на основе реального эксперимента a posteriori Теоретический используя модель эксперимента (рассматривая мысленный эксперимент) a priori

1. 2. Статистическое определение вероятности 4 серии по 100 бросаний Статистический способ через массовые однородные испытания достаточно много наблюдений при «одних и тех же» условиях m. A абсолютная частота монеты A – выпадение герба n 1 2 3 4 m. A / n 100 100 41 57 61 42 0. 41 0. 57 0. 61 0. 42 Отношение количества испытаний, в которых A имело место, к общему числу испытаний в серии относительная частота события (частота) W(A) = m. A / n [%]

Статистическая вероятность С ростом n частота стабилизируется – свойство устойчивости частот: значения W от серии к серии слегка колеблются вокруг некоторого числа – вероятности события (частотное истолкование вероятности) Выражение универсальной При неограниченном увеличении количества статистической закономерности испытаний частота приближается к константе, – Закона Больших которая называется Чисел статистической вероятностью Теорема Бернулли доказывает (примерно): : при неограниченном увеличении однородных W(A) P(A) при n независимых опытов можно утверждать с практической достоверностью, что относительная частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте

C у т ь ! хотя отдельный результат случаен (W изменяется от серии к серии), средний массовый результат не случаен (P – объективная характеристика события и соответствующих состояний объекта) !!! Основание для использования статметодов W (A) = 0. 5025.

Свойства вероятности W оценка вероятности (при достаточно больших n) Можно ли предсказать результат отдельного испытания? Иногда! 1) W(A) = 1, если A во всех m. A = n опытах достоверное событие 2) W(A) = 0, если A ни в одном невозможное 0 W(A) 1 0 P(A) 1

Вероятность число между нулем и единицей Вероятность достоверного события равна единице Вероятность невозможного события равна нулю The End 60% случаев 3) W(A) = 0. 6 в of Part One 4) W(A) = 0. 98 практически достоверное 5) W(A) = 0. 01 практически невозможное The End Та малая вероятность, при которой в данных конкретных условиях событие можно считать практически невозможным, называется уровнем значимости или риском A posteriori