Теория вероятностей и математическая статистика Тема 8 Оценка

Теория вероятностей и математическая статистика Тема 8. Оценка закона распределения

Лекция 11 Оценка закона распределения • Гистограмма распределения • Критерий согласия хи-квадрат Тема 8. Оценка закона распределния

Литература C. 35 -41 [1] C. 134 -143 [2] 1. Горяинов, В. Б. , и др. , Математическая статистика, под ред. В. С. Зарубин and А. П. Крищенко. 2001, М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. 424. 2. Фигурин, В. А. and В. В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика. 2000, Минск: ООО "Новое знание". 207. Тема 8. Оценка закона распределения

Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцияю F*(x)=ni/n , ni – число элементов выборки меньших x, n – объем выборки. Свойства функции распределения. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1] 2. Функция распредлеения F*(x) – неубывающая функция. 3. Если x 1 – наименьшее значение выборки, а xk – наибольшее, то F*( x)=0 при xxk Функция распределения определяет для каждого x относительную частоту события X

. Гистограмма распределения Эмпирической плотностью распределения соответствующей реализаци случайной выборки из генеральной совокупности X, называют функцию, которая во всех точках интервала Ji, i=1, m равна ni/(nΔ), а вне интервала J равна 0. Δ – длина интервалов Ji. Для больших объемов выборки, удобно строить статистический ряд. В нижней строке таблицы – отностительные частоты появления. Разделив это значение на длину интервала – получим значения плотности распределения в данном интервале Δ. Функция pn(x) – кусочно постоянная. График этой функции называется гистограммой. Тема 8. Оценка закона распределения

. Полигон частот Часто гистограммой называют диаграмму, составленную из прямоугольников с основанием Δ и высотами ni/(nΔ), i=1, m. Суммарная площадь всех прямогуольников равна 1. Площадь каждого прямоугольника ni/n – частота попадания элементов выборки в соотвествующий интервал. Наряду с гистограммой часто используют другое графическое представление функции p(x) – полигон частот. Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют середины горизонтральных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме. Полигон используют также при описании дискретных случайных величин. В этом случае по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие частоты. Соседние точки соединяют отрезками прямой. Тема 8. Оценка закона распределения

. Гистограмма. Полигон частот. Выбор количества интервалов существенно зависит от объема данных. В литературе приводятся несколько руководств по выбору числа интервалов. Например, Формула Старджеса: m=log 2 n+1=3, 32 ln n +1. Другие методы расчета m=5 ln n m=n^(1/2) Формулы следует рассматривать как оценку снизу для количества интервалов. Тема 8. Оценка закона распределения

. Выборочные характеристики Аналогично рассматриваются числовые характеристики генеральной совокупности (теоретические числовые характеристики ) и выборочные числовые характеристики. По определению выборочный начальный момент k- того порядка Выборочный начальный момент первого порядка – выборочное среднее. Выборочный центральный момент k-того порядка Выборочный центральный момент 2 -го порядка - выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратичное отклонение Тема 8. Оценка закона распределения

. Выборочные характеристики можно ввести также и при рассмотрении выборок из многомерных генеральных совокупностей. Основное свойство выборочных моментов, как начальных, так и центральных, и в том числе выборочного среднего и выборочной дисперсии, состоит в том, что при увеличении объема выборки n они сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим (генеральным) моментам*. Тема 8. Оценка закона распределения

Критерий согласия Хи-квадрат (критерий Пирсона) Сравнение теоретического и эмпирического распределений производится с помощью правила – критерия согласия. Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Для проверки критерия вводим статистику. (статистика – функция случайной выборки) - предполагаемая вероятность попадания в i-тый интервал. – соответствующее эмпирическое значение, ni- число элементов выборки из i-того интервала, N – полный объем выборки. X – случайная величина , следовательно хи-квадрат тоже случайная величина и должна подчиняться распределению «хи-квадрат» . Тема 8. Оценка закона распределения

Критерий согласия Хи-квадрат (критерий Пирсона) Правило критерия Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения χ2 заданного уровня значимости α с l=(k-p-1) степенями свободы, где k – число наблюдений, p – число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости. Кванти ль в математической статистике — такое число, что заданная случайная величина не превышает его лишь с фиксированной вероятностью. Квантиль xp порядка p F(xp)=p. ( Тема 8. Оценка закона распределения

Критерий согласия Хи-квадрат (критерий Пирсона) Применение правила критерия сводится к следующему: 1. На основании выборочных данных x 1, x 2, …xn находят оценки параметров теоретического распределения. 2. Вычисляют по теоретическому распределению вероятности попадания случайной величины в i-тые интервалы ( ). 3. Рассчитывают значение статистики χ2. 4. Определяют число степеней свободы. 5. Выбирают уровень значимости α – как правило 0, 05 или 0, 01. 6. По таблицам находят квантиль распределния «хи-квадрат» χ2 l, α. 7. Если статистика χ2 больше χ2α, то гипотеза отвергается при уровне значимости α. ( Тема 8. Оценка закона распределения