Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1

Теория вероятностей и математическая статистика Лекция № 1 Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики. 2 сентября 2011 г.

План лекции: 1. Предмет теории вероятностей. События. 2. Классическое определение вероятности. 3. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. 4. Геометрические вероятности. 5. Основные понятия и формулы комбинаторики. • Постановка задачи. • Выбор без повторений и с повторениями. • Задачи об одной комбинации и о разбиении на группы. • Типы составляемых комбинаций. . 6. Основные правила комбинаторики. Формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений. 7. Непосредственное вычисление вероятности.

Испытания и события. Виды случайных событий. • Случайное событие (возможное событие или просто событие) – любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. • Под испытанием (опытом, экспериментом) понимают выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. • Результат испытания называют также исход.

• События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. • Событие называют достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. • Событие называют невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти. • Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Классическое определение вероятности • Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: Р(А) = m/n, m – число случаев, благоприятствующих событию А, n – общее число случаев.

Относительная частота. Статистическое определение вероятности • Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний: W(A) = m/n, m - число появлений события, n – общее число испытаний. Статистической вероятностью события А называют относительную частоту появления этого события в n произведенных испытаниях.

Геометрические вероятности • Классическое определение вероятности является ограниченным – оно предполагает конечное число исходов! • Геометрические вероятности – вероятности попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т. д. ): Р(А) = mes g /mes G.

Основные понятия и формулы. Постановка задачи. Комбинаторика - это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам. Исходное множество обычно считается конечным, состоящим из п различных элементов, либо из п 1 одинаковых элементов первого типа (класса), п 2 - второго, . . . nk - k-гo типа; при этом n 1+ n 2+ n 3+. . . + nk = n.

• Если исходное множество состоит из п различных элементов, то при каждом выборе мы будем извлекать из него новый элемент, отличный от всех других - это выбор без повторений. • Если исходное множество состоит из элементов k типов (классов), причем внутри каждого класса элементы неразличимы, то при очередном выборе мы можем извлечь либо новый элемент, либо такой, какой уже встречался при предшествующих извлечениях - это выбор с повторениями.

• Извлеченные из исходного множества т элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов. Вид и свойства комбинации определяются правилами ее построения. • В элементарной комбинаторике рассматриваются конечные исходные множества из п элементов с конечным числом выборов (извлечений) т < п. При этом создаваемая комбинация - это либо: 1) одно подмножество из т элементов, выбираемых из п (задачи, связанные с исследованием таких комбинаций, будем называть задачами об одной комбинации) 2) либо набор из m подмножеств, по которым раскладываются все п элементов исходного множества (задачи, связанные с исследованием таких комбинаций, называются задачами о разбиении на т групп. ).

Различные варианты составляемой комбинации элементов в задачах об одной комбинации могут отличаться один от другого: а) только порядком расположения выбранных т элементов; такие комбинации называются перестановками из т элементов. Например: abc, acb, bac, bca, cab, cba - это перестановки из трех элементов. В каждую из них входят одни и те же элементы, но в каждую — в различном порядке (нет ни одной пары комбинаций с одинаковым порядком расположения элементов); б) только составом входящих в комбинацию т элементов, без учета порядка их расположения; такие комбинации называются сочетаниями из п элементов по т. Например, из элементов множества а, b, с, d, e (п = 5) можно составить следующие сочетания по три элемента (т = 3): abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bce, bde, cde. Каждая из этих комбинаций отличается от любой другой хотя бы одним входящим в нее элементом; нет ни одной пары комбинаций с одинаковым составом элементов (например, комбинации abc, acb, bac и т. д. не рассматриваются, считаются тождественными, неразличимыми). Сочетания - это неупорядоченные m-элементные подмножества исходного множества; в) как составом, так и порядком расположения т элементов в комбинации; такие комбинации называются размещениями из n элементов по т. Размещения - это упорядоченные m-элементные подмножества исходного множества элементов. Одно размещение отличается от другого либо составом элементов, либо порядком их расположения, либо и тем и другим одновременно. Например, из элементов а, b, с, d (п = 4) можно составить следующие размещения по три элемента (m = 3):

• Таким образом, составляемая из т выбранных элементов комбинация может быть либо перестановкой, либо сочетанием, либо размещением. Тип комбинации определяется не видом самой комбинации (комбинация adceb может быть и перестановкой из 5 элементов, и сочетанием по 5 элементов из п, и размещением по 5 элементов из п), а правилом ее составления: • если мы, один раз выбрав т элементов, в дальнейшем меняем только порядок их расположения, то получаем перестановки из т элементов; • если мы выбираем т элементов и составляем из них комбинацию, не учитывая порядок расположения элементов, то получаем сочетание из п элементов, новое сочетание получим при другом выборе т элементов, если в нем появится хотя бы один новый элемент; • если мы выбираем т элементов и составляем из них упорядоченную комбинацию, учитываем порядок расположения элементов, получаем размещение из п элементов по m; новое размещение получим при другом расположении тех же элементов, либо при другом выборе хотя бы одного из т элементов.

Полный перебор вариантов. • Центральное место в элементарной комбинаторике занимают так называемые перечислительные задачи. При их решении либо называется метод перебора всех возможных вариантов построения комбинаций того или иного вида, либо определяется число таких вариантов, либо делается то и другое. • Перечисление вариантов (полный перебор) осуществляется с помощью таблиц, графов (деревьев), либо заданием алгоритма, обеспечивающего получение всех возможных вариантов. Табличный и графический методы перебора, а также алгоритмы «ручного» перебора используются только при малых значения т и п. Машинные алгоритмы перебора вариантов по мере развития вычислительной техники находят все более широкое применение. До настоящего времени они являются единственным средством решения некоторых комбинаторных задач (в частности, полным перебором всех вариантов на ЭВМ было доказано, что не существуют ортогональные латинские квадраты размером 6 х 6).

Основные правила комбинаторики. Формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений • При больших значениях п и т перебор вариантов становится очень громоздким, поэтому ограничиваются подсчетом только общего числа возможных вариантов построения комбинаций заданного типа. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных комбинаций получаются с помощь двух основных правил комбинаторики. • Правило суммы (правило сложения). Если элемент А может быть выбран k 1 способами, а элемент В другими k 2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен k 1+ k 2 способами. • Правило произведения (правило умножения). Если элемент А может быть выбран k 1 способами, и после каждого из таких выборов элемент В может быть выбран k 2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен k 1 • k 2 способами.

Основные правила комбинаторики. Формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений P m= m !