Теория вероятностей и математическая статистика Историческая справка

Теория вероятностей и математическая статистика

Историческая справка 2. Элементы комбинаторики а) Правило суммы б) Правило произведения в) Перестановки г) Сочетания д) Размещения 1.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

n Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания действительности (теоретической вероятностной модели), а математическая статистика, используя результаты, полученные теорией вероятностей позволяет оценить значения искомых характеристик, выявить степень точности получаемых при обработке данных выводов.

Историческая справка n n Комбинаторика возникла в XY 1 веке. Игры в карты, кости, лотереи Итальянский математик Тарталья Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XY 1 - XY 11 вв. Они принадлежат Б. Паскалю (1623 -1662), П. Ферма (1601 -1665) и др. Дальнейшее развитие – Яков Бернулли (1654 -1705), Г. Лейбниц (1646 -1716), Л. Эйлер (1707 -1783) и др.

Историческая справка n n n Следующий этап в развитии приходится на XY 11 - X 1 X вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. X 1 X – начало XX в. - плодотворная работа русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова, А. А. Маркова Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики С. Н. Берштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Ю. В. Линник, Б. В. Гнеденко и др.

Правило суммы n Если имеется k способов выбора элемент a и l способов выбора элемент b, то выбор элемента a или b можно осуществить (k+l)-способами. Если встречаются повторяющиеся элементы, то (k+l-n)-способами, где n - число совпадающих элементов.

Правило суммы n Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой 40 различных книг (отличных от 30 книг на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно 30+40=70 способами.

Правило произведения n Если имеется k способов выбора элемент a и l способов выбора элемента b, то выбор пары элементов a и b можно осуществить (k*l) способами.

Правило произведения n Из трех инженеров и двух экономистов должна быть составлена комиссия в составе двух человек. Сколькими способами можно сформировать комиссию, составленную из инженера и экономиста?

Перестановки n n Всякое конечное упорядоченное множество называется перестановкой его элементов. Теорема: Число всевозможных перестановок вычисляется по формуле:

Перестановки n n Сколькими способами могут быть расставлены четыре участника финального забега на четырех беговых дорожках? В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть 5 уроков: алгебра, русский язык, литература, география и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки русского языка и литературы должны стоять рядом, а урок физкультуры – последним?

Сочетания n n Сочетанием из n элементов взятых по k, называется часть, содержащая k элементов данного множества, состоящая из n элементов, причем порядок элементов не учитывается. Теорема: Число сочетаний вычисляется по формуле:

Сочетания n n В группе из 15 человек нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? На деловую встречу пришло 5 человек. Каждый с каждым обменялся рукопожатием. Сколько всего рукопожатий было совершено?

Размещения. n n Размещением из n элементов взятых по k, называется всякая упорядоченная часть данного множества, содержащая k элементов Теорема: Число размещений вычисляется по формуле:

Размещения. n Сколько различных трехцветных флагов можно сшить, если имеется материал пяти различных цветов? Та же задача, если одна полоса должна быть красной?

Диаграммы Эйлера n n Событие A Событие Ā, противоположное событию A

Диаграммы Эйлера n A Несовместные события B n A Объединение событий B Пересечение событий

Диаграммы Эйлера n В НИИ работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков? 8= 67 -(23+24+12) 8= 67 -23 -(47 -23)-(35 -23)= 67 -47 -35+23

Диаграммы Эйлера n Пусть из 67 человек 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык и 23 – оба языка. Французский язык знают 20 человек, английский и французский -12 человек, немецкий и французский -11 человек, а все три языка – 5 человек. Сколько человек не знают ни английского, ни немецкого, ни французского? 6=8 -2= 67 -47 -35 -20+23+12+11 -5 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Классическое определение вероятности n Вероятностью события А называется число равное отношению числа благоприятствующих случаев к числу всех случаев

Свойства вероятностей n n 1. Вероятность события не может быть отрицательной 2. Вероятность достоверного события равна единице 3. Вероятность невозможного события равна нулю 4. Вероятность события заключена в промежутке

Испытания Бернулли n Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с вероятностью p (0

Испытания Бернулли n Два сильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 партии из 4; 3 из 6 или 4 из 8 (ничья во внимание не принимается)?

Бином Ньютона

Диаграммы

Диаграммы

Статистические характеристики n n Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду. Медианой набора чисел называется такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части.

Статистические характеристики n 7. 3 Найдите среднее арифметическое, размах и моду и медиану ряда чисел а) 61, 64, 83, 61, 70 б)-21, -33, -35, -19, -20, -22 в)16, 22, 16, 13, 20, 17

Статистические исследования n 8. 2 В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено сколько времени (с точностью до 0, 5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные: 5, 1, 5, 0, 2, 5, 1, 0, 0, 2, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 2, 5, 0, 1, 5, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 3, 5, 3, 2, 5, 2, 1, 2, 2, 4, 5, 4, 3, 5, 2, 5. Представьте этот ряд в виде таблицы частот. Найдите , сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

Статистические исследования n Когда невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей исследуемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается выборка, которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, т. е. репрезентативной.

Статистические исследования n n Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется дисперсией Столбчатая диаграмма, круговая диаграмма, полигон, гистограмма