Теория вероятностей и комбинаторные правила для решения задач ГИА и ЕГЭ В 10
Введение. Что изучает теория вероятности? n n Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении
Введение. Что изучает теория вероятности? n Реальная жизнь не так проста и однозначна. Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, случайные встречи и так далее. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадёт подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Введение. Что изучает теория вероятности? n n Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей.
n В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественно – научных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение.
Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка. 6
Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов. . 7
Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй 8
Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. События образующие полную группу называют элементарными. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. 9
Классическое определение вероятности Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n 0≤Р(А)≤ 1 10
Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача № 1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов 11
Задача № 2: Сколько пятизначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно Решим задачу иначе. затруднителен. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения 12
Задачи открытого банка 13
№ 283479 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех гимнасток. n=50 Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50 -(24+13)=13 2/16/2018 14
№ 283479 В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех насосов. n=1400 Соответствует количеству исправных насосов m=1400 -14=1386 2/16/2018 15
№ 283639 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех сумок. n=190+8 Соответствует количеству качественных сумок. m=190 2/16/2018 16
Родительский комитет закупил 9 пазлов для подарков детям на окончание года. Из них 4 с картинами известных художников и 5 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Ренате достанется пазл с животным Благоприятное событие А: Ренате достался пазл с животным К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству пазлов с животным m=5 2/16/2018 Соответствует количеству всех пазлов. n=9 Р(А)= 5/9 17
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 17. Благоприятное событие А: трехзначное число делится на 17 К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству трехзначных чисел. n=999 -99=900 Соответствует Количеству трехзначных чисел, делящихся на 17 102; 119; 136; 153; 170; 187. Р(А)= 1/150 m=6 2/16/2018 18
На экзамене 51 билет. Валера не выучил 11 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Благоприятное событие А: попался выученный билет К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству выученных билетов m= 51 -11=40 2/16/2018 Соответствует количеству всех билетов. n=51 Р(А)= 40/51 19
У бабушки 10 чашек: 8 с красными звездами, остальные с золотыми. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими звездами Благоприятное событие А: бабушка взяла чашку с синими звездами К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству Чашек с синими звездами m = 10 -8 = 2 2/16/2018 Соответствует количеству всех чашек. n=10 Р(А)= m/n = 2/10 = 0, 2 20
Юра с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе девять кабинок, из них 6 – синие, 2 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Юра прокатится в оранжевой кабинке. n Ответ: 1/9
Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал. Света включает телевизор. В это время по двум каналам из сорока одного показывают новости. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где новости идут. n 2/41
На тарелке 30 пирожков: 5 с мясом, 3 с капустой и 22 с вишней. Жора наугад выбирает себе один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом. n 1/6
В каждой шестой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределяются по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдет приз в своей банке. n 5/6
В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 6 черных, 9 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. n 2/7
№ 283445 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Опыт: выпадают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 331 313 133 223 511 232 151 322 115 412 421 124 К-во всех событий группы n=? 1 -я кость - 6 вариантов 2 -я кость - 6 вариантов 3 -я кость - 6 вариантов 142 214 241 2/16/2018 26
найдите вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном выпадет число, меньшее 3, а на другом – не большее 3. Опыт: выпадают два игральных кубика. Благоприятное событие А: на одном выпало 1 или 2 очка. на другом выпало 1, 2 или 3 очка. К-во благоприятных событий m=? 11 12 13 2/16/2018 21 22 23 31 32 К-во всех событий группы n=? 1 -я кость - 6 вариантов 2 -я кость - 6 вариантов 6 ∙ 6 = 36 8 Р(А)= m/n = 8/36 = 2/9 27
Оля и Вадим играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается, что у ребят ничья, если очков они выбросили поровну. Оля выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Вадим. Найдите вероятность того, что Вадим не проиграет. Опыт: Вадим бросает кость. Благоприятное событие А: Вадим не проиграл К-во благоприятных событий m=? Выпало 4, 5 или 6 очков. m= 3 2/16/2018 К-во всех событий группы n=? Выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков N= 6 Р(А) = m/n = 3/6=0, 5 28
Оля, Вадим и Виталик играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается, что у ребят ничья, если очков они выбросили поровну. В сумме они выкинули 13 очков. Найдите вероятность того, что Оля выиграла у обоих мальчиков, причем Вадим с Виталиком выбросили поровну очков. Опыт: Выбросили три кубика. В сумме выбросили 13 очков. Благоприятное событие А: Оля выиграла, мальчики выбросили поровну очков К-во благоприятных событий m=? Оля Вадим Виталик 5 4 4 К-во всех событий группы n=? Оля 5 4 4 n= 3 Вадим 4 5 4 Виталик 4 4 5 m= 1 Р(А) = m/n = 1/3 2/16/2018 29
Найдите вероятность того, что при броске трёх симметричных монет два раза выпадет орёл, а один раз решка. Опыт: выпадают три монеты Благоприятное событие А: выпало два орла и одна решка. К-во благоприятных событий m=? ООР ОРО РОО 3 К-во всех событий группы n=? 1 -я монета - 2 варианта 2 -я монета - 2 варианта 3 -я монета - 2 варианта 2 ∙ 2 = 8 Р(А) = 3/8 = 0, 375 2/16/2018 30
№ 283471 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во всех событий группы n=? К-во благоприятных событий m=? m=1 1 -й раз - 2 варианта 2 -й раз - 2 варианта 3 -й раз - 2 варианта 4 -й раз - 2 варианта Четыре раза выпала решка. 2/16/2018 31
Задание B 10 (№ 285923) Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? К-во благоприятных событий m=? Благоприятное событие А: В третий день состоится выступление представителя из России Сответсвует количеству выступлений в третий день: 1 -й день 8 выступлений (80 -8) : 4 = 18 2 -й день 18 выступлений 3 -й день 18 выступлений 4 -й день 18 выступлений 5 -й день 18 выступлений m= 18 2/16/2018 К-во всех событий группы n=? Соответствует количеству всех выступлений N= 80 Р(А) = m/n = 18/80 =0, 225 32
Задание B 10 (№ 285925) Перед началом первого тура чемпионата по теннису участниц разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисисток , среди которых 10 участников из России, в том числе Рита Орлова. Найдите вероятность того, что в первом туре Рита Орлова будет играть с какой-либо теннисисткой из России? Условие можно трактовать так: какова вероятность выбора теннисистки из России без учета Риты Орловой. К-во всех событий группы n=? К-во благоприятных событий m=? Сответсвует количеству теннисисток из России m= 10 – 1 = 9 2/16/2018 Соответствует количеству всех теннисисток N= 26 – 1 = 25 Р(А) = m/n = 9/25=0, 36 33
n Если опыт проводится последовательно несколько раз, то удобно пользоваться следующей формулой: если события А и В независимые, то Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) если события А и В зависимые, то Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А)= Р(В) ∙ Р(А/В)
В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероят ность того, Что оба карандаша окажутся красными? n n n n Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки 'вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0, 4, P(В) = 0, 3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) = 0, 4 • 0, 3 = 0, 12.
В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки. n n n Решение. Пусть событие А обозначает, что первой будет выступать девушка. Р(А)= 4/9 Событие В обозначает. Что следующая будет выступать девушка Р(В) = 3/8 Тогда вероятность того, что первые две выступают девушки, равна Р= Р(А)∙Р(В) = 4/9∙ 3/8=1/6
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 5 раз. n n n Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5 Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в пятый раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет все пять раз, равна 4/5 ∙ 4/5∙ 4/5 =1024/3125≈33%
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 6/7. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень первые 3 раза, а потом два раза промахнется. n n n Вероятность того, что попадет в первый раз равна 6/7 Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 6/7 Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 6/7 Вероятность того, что не попадет в четвертый раз, равна 1/7 Вероятность того, что не попадет в пятый раз, равна 1/7 Вероятность того, что попадет в мишень первые 3 раза, а потом два раза промахнется равна 6/7 ∙ 6/7∙ 1/7=216/16807≈0, 012…
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза. n n n Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5 Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет четыре раза, равна 4/5 ∙ 4/5∙ 4/5=256/625≈0, 41
n Как вы думаете, мы правильно решили предыдущую задачу?
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза. n n n Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5 Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5 Вероятность того, что попадет четыре раза, равна 4/5 ∙ 4/5∙ 4/5=256/625≈0, 41 А если биатлонист будет стрелять 100 раз?
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза. n n Решение. А = {попал 1 -й раз}, В = {попал 2 -й раз}, С = {попал 3 -й раз), D = {попал 4 -й раз}, Е = {попал 5 -й раз}. F = {попал 4 раза}. F = A∙B∙C∙D∙E + +A∙B∙C∙D∙E P(F)= (4/5 ∙ 1/5)∙ 5 = 256/625≈0, 41
Источники: И. Л. Бродский, Р. А. Литвиненко. “Вероятность и статистика. ” - М. : Аркти. - 2006. Семенов А. В. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. учебное пособие. /под редакцией И. В. Ященко; - М. : Интеллект-Центр. -2012. Открытый банк задач. www. mathege. ru/or/ege/Main www. mathgia. ru: 8080/or/gia 12 43
Скачать презентацию Теория вероятностей и комбинаторные правила для решения задач
теория вероятностей.ppt