Теория упругих колебаний Лекция № 5
Содержание • Основные уравнения движения точек твердого тела • Закон распространения волн сжатия и расширения. • Закон кручения элементов твердого тела.
Основные уравнения движения точек твердого тела • Приступим к выводу основных уравнений движения для любой точки твердого тела, внутри которого действуют только упругие напряжения. • Для этой цели возьмем около произвольной точки М внутри тела с координатами X, Y, Z элементарный параллелепипед, стороны которого равны dx, dy, dz. Обозначим плотность вещества в данной точке через , масса этого параллелепипеда.
• Применяя второй закон Ньютона к упругой среде, можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого будет уравнение волны. Логическая схема этого вывода такова:
• Проекции перемещения точки М на оси координат обозначим , и они являются функциями координат точек и времени. • Вторые производные от перемещений по времени представляют собой проекции ускорения движения точки М.
Согласно основной теореме механики произведение массы элементарного параллелепипеда на ускорение должна равняться сумме проекции на ось Х-ов всех сил, действующих на данный параллелепипед. • Таким образом, будем иметь:
Подобные же условия можно написать и для других осей, и сократив на получим(3)
• Таковы уравнения движения точки М. Введем теперь в эти уравнения обозначения через N, T (нормальные и касательные напряжения)(1)
• Внешние силы , обусловленные тяготением, малы по сравнению с напряжениями, действующими в данной точке. Исходя из этого, данными силами можно пренебречь: • Далее преобразуем (2) уравнение, подставляя выражения N, T из предыдущей лекции(4):
• Отсюда находим производные: • Подставив эти выражения во(2) уравнение получим:
• Сумму вторых производных по координате записывали через оператора Лапласа. Аналогично можно получить преобразования и для других уравнений(3):
• Закон распространения волн сжатия и расширения. • Для установления этого закона от первого уравнения берем производную по Х, от второго -по Y, от третьего - по Z из системы уравнения (3) и сложим их: • Отсюда окончательно имеем следующее уравнение: (5)
• В(5) уравнение входит только одна переменная - увеличение или уменьшение единицы объема. Предположив в этом уравнении , будем знать, как распределяются области сжатия и расширения материи во всем объеме твердого тела в определенный момент времени. • Таким образом, если из какой - нибудь точки твердого тела исходит колебательное движение , то (5) уравнение представляют собой закон распространения волн сжатия и расширения.
• Закон кручения элементов твердого тела. Для установления этого закона также воспользуемся (3) системой уравнения, от третьего уравнения берем производную по Y, от второго- по Z: • и вычислим разницу между третьим и вторым:
• введем новую переменную • Аналогично можно провести такую комбинацию и для других составляющих, вследствие этого получим следующую систему уравнения(6):
• Данная система уравнений такого же типа, что (5). • Новые переменные, входящие в эти формулы, представляют собой малые углы поворота или кручения элементов твердого тела, непосредственно прилагающих к данной точке, около соответственных координатных осей.
Скачать презентацию Теория упругих колебаний Лекция 5 Содержание
Теория упругих колебаний (2).ppt