Теория принятия решений Номер и название специальности Институт

Теория принятия решений [Номер и название специальности] Институт МБЭ, кафедра ММ Мазелис А. Л. Математические модели решения транспортной задачи и задачи о назначениях

Содержание 1. Ключевые понятия 2. Учебный материал 3. Вопросы для самопроверки 4. Рекомендуемая литература

Ключевые понятия · Транспортная задача · Потенциалы · Транспортные потоки · Оптимальность · Задачи о назначениях · Целевая функция · Поиск решений

Транспортная задача Формулировка Дано: Множество I, включающее m пунктов отправления груза, имеющегося в количествах ai (i=1…m) Множество J, включающее n пунктов потребления, в каждом из которых имеется спрос на данный груз в количестве bj (j=1…n) Затраты cij на перевозку единицы груза между пунктами i и j

Транспортная задача Формулировка Найти: План перевозок X = (xij), согласно которому груз из пунктов отправления перевозится в пункты потребления с минимальными издержками, а спрос удовлетворяется полностью Обычно предполагается, что общий размер запасов груза равен спросу (закрытая транспортная задача). При этом условии задача всегда имеет оптимальное решение.

Математическая запись

Математическая запись Получившаяся задача имеет форму задачи линейного программирования. Её можно решить симплексным методом, Однако есть более эффективные способы её решения.

Метод потенциалов 1. Начальное распределение транспортных потоков 2. Расчет потенциалов 3. Проверка оптимальности Да 5. Конец Нет 4. Корректировка плана (Циклы перераспределе ния)

Начальное распределение транспортных потоков Теоретическая основа Ранг матрицы ограничений транспортной задачи равен n+m– 1 В оптимальном плане все переменные, кроме n+m– 1, будут свободными =>равными нулю Метод северо-западного угла Не использует данных о затратах Обычно приводит к распределению, требующему много корректировок

Ещё не вывезенный остаток 1. i=1, j=1 Ещё не удовлетворённый спрос Потребител и Запас 2. xij = min(a’i, b’j) 3. Если xij = a’i, то i ← i+1; иначе j ← j+1 4. Если i>m, то процесс завершён; иначе переход к 2 2 3 60 Потребности 1 40 20 Поставщик 1 30 Поставщик 2 40 10 Поставщик 3 50 30 Начальное распределение получено! 30 20

Расчёт потенциалов Теоритическая основа Потенциалы приписываются поставщикам (ui) и потребителям (vj). Уравнение потенциалов cij = vj – ui Расчёт потенциалов: подобрать такие vj и ui, чтобы уравнение потенциалов выполнялось для всех базисных клеток (перевозок)

Расчёт потенциалов 1. 2. 3. 4. 5. 6. i = 1; ui = 0 В строке i находим множество столбцов J’ с ненулевыми перевозками и нерассчитанными потенциалами Для всех j J’ выполняем vj ui + cij В столбце j находим множество строк I’ с ненулевыми перевозками и нерассчитанными потенциалами. Для всех i I’ выполняем ui vj – cij Выполняем (2) Процесс закончен, когда I’ или J’ оказывается пустым Начальное распределение получено! Потребители Запас 2 3 60 40 Потребнос ти 1 20 Поставщик 1 30 30 Поставщик 2 40 30 10 Поставщик 3 50 vj √ 6 √ 8 9 √ 8 7 5 ui 0 -2 30 20 0 4 √ 6 √ 12 6 6 12

Проверка оптимальности Теоритическая основа По используемым перевозкам cij разница в «ценах» (потенциалах) у потребителя j и у поставщика i равна стоимости перевозки (это следует из способа расчёта потенциалов) Неиспользуемая перевозка cij выгодна, если разница в «ценах» (потенциалах) у потребителя j и у поставщика i больше стоимости перевозки Условие оптимальности Разница в потенциалах потребителя и поставщика по всем неиспользуемым перевозкам не больше стоимости перевозки

Проверка оптимальности • В нашем примере выполняется не по всем неисп. перевозкам – Выполняется только для 1 2. – Значит, требуется переход к п. 4. – корректировка плана Потребители Запас Поставщик 1 Поставщик 2 Поставщик 3 30 40 2 3 60 Потребности 1 40 20 30 6 0 9 30 10 8 8 50 7 -2 5 30 20 6 12 4 vj 6 ui 0

Корректировка плана 1. Выбираем клетку с превышением разности потенциалов потребителя и поставщика над стоимостью транспортировки как правило, с наибольшим. 2. Строим контур (см. схему), начиная с данной клетки 3. Помечаем вершины контура знаками «+» и «–» начинаем со знака «+» в выбранной свободной клетке. 4. Находим наименьшую из величин в клетках со знаком « –» 5. Вычитаем её из всех клеток «–» и прибавляем ко всем клеткам «+» 6. Одну из клеток, в которых оказался нуль, объявляем свободной. Переходим к проверке критерия оптимальности

Особенности 1. Контур можно построить всегда, но не всегда удаётся угадать правильный путь. В больших задачах отыскание циклов лучше делать с помощью комп. прграмм 2. Контур может оказаться вырожденным (Если наименьшим значением в клетке со знаком – оказывается нуль Пересчёт по такому циклу не улучшает план, вследствие чего метод может зациклиться в этом случае выбирают другую свободную клетку в качестве начальной) 3. Если после пересчёта получились нули в нескольких клетках, в качестве свободной можно выбрать любую из них (Остальные считаются базисными с нулевым объёмом перевозки)

Особенности решения открытой транспортной задачи • Стоимость «перевозки груза» от фиктивного поставщика принимается равным потерям, возникающих из-за неудовлетворённого спроса. • «Перевозки» от фиктивного поставщика интерпретируются как величины неудовлетворённого спроса соответствующих потребителей. • Стоимость перевозки груза фиктивному потребителю принимается равной потерям при хранении либо нулю. • «Перевозки» фиктивному потребителю интерпретируются как остатки на складах.

Задача о назначениях • n работников • n работ • Добавленная стоимость, создаваемая работником i на работе j • Оптимальное назначение работников на работы, максимизирующее добавленную стоимость

Задача о назначениях • Переформулируется в транспортную задачу по следующему правилу: • имеется n поставщиков, располагающих ед. ресурсами => работники • имеется n потребителей с единичным спросом => работы • стоимость перевозок равна добавленной стоимости, взятой со знаком «-» ( чтобы добавленная стоимость максимизировалась) • Решается методом потенциалов: «Перевозки единичного объёма груза» интерпретируются как назначение работника i на работу j (Все базисные переменные в этом случае могут принимать только единичные значения)

Функции Excel • Функция СУММПРОИЗВ позволяет вычислить сумму произведений двух массивов. • Чтобы указать соответствующие диапазоны, можно воспользоваться кнопками свертывания, расположенными справа от полей ввода. Они позволяют временно убрать панель формул с экрана, чтобы удобнее было выделять диапазон на листе. Закончив выделение, щелкните кнопку снова для восстановления панели.

Основные понятия • Целевая функция. В каждой задачи линейного программирования имеется линейная целевая функция, представляющая коэффициент эффективности, который необходимо максимизировать или минимизировать. • Поиск решения. Надстройка в Excel, которая может оптимизировать табличные модели ЛП. • Ограничения. Математические выражения в форме неравенства или равенства, которому должны удовлетворять переменные модели. • Переменные решения. Переменные, значениями которых управляет человек, принимающий решение.

Задачи для самостоятельного решения • Задача 1 (транспортная задача). Менеджер транспортного отдела составляет план перевозок на следующий месяц. Цены перевозок, заказы и запасы показаны в таблице. Видно, что запасы продукции на складах фирмы в следующем месяце превысят заказы так, что часть продукции останется на складах. S 1, S 2. . S 4.

Задачи для самостоятельного решения • Задача 1 (транспортная задача). Составьте план транспортных перевозок, минимизирующий издержки и найдите остатки товаров на каждом из складов фирмы в конце месяца. Учтите, перевозки по маршруту S 2 -D 9 в это время будут невозможны.

Задачи для самостоятельного решения • Задача 2 (задача о назначениях) Мастер должен назначить на 5 типовых операций (D 1, D 2, . . . D 5) 5 из 7 рабочих (S 1, S 2. . S 7). Время, которое каждый рабочий тратит на выполнение каждой операции приведено в таблице. Определите оптимальную расстановку рабочих по операциям, при которой суммарное время на выполнение работ будет минимально, принимая во внимание, что рабочий S 1 не может выполнять операцию D 1 в течение некоторого времени в связи с травмой.

Задачи для самостоятельного решения • Задача 2 (задача о назначениях)

Вопросы для самопроверки Подзаголовок 1. 2. 3. 4.

Рекомендуемая литература Пример списка литературы 1. Алешина И. В. Паблик рилейшнз для менеджеров и маркетеров. – М. : Ассоциация авторов и издателей "Тандем". Изд-во "Гном-пресс", 1997. – 256 с. 2. Арнольд И. В. Лексикология современного английского языка: Учебник для вузов – Ленинград: Ленинградская школа английской лингвистики, 1959. – 312 с. 3. Новоселов М. М. Логика // Философский энциклопедический словарь. – М. : Сов. энциклопедия, 1983. – C. 310– 319.

Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.