Теория поля Выполнила студентка гр 2 Г 01

Теория поля Выполнила: студентка гр. 2 Г 01 Поликанова С. А. Проверила: доцент кафедры высшей математики Тарбокова Т. В.

о 1. Понятие векторного поля Векторное поле определяется векторной функцией точки где - точка пространства, - ее радиус-вектор.

Физические примеры векторных полей Электрическое поле вокруг некоторого заряда; Магнитное поле вокруг проводника с током; Поле скоростей частиц текущей жидкости; Гравитационное поле.

Важнейшие характеристики векторных полей Поток (П). Циркуляция (Ц). Дивергенция (div Ā ). Ротор или вихрь (rot Ā ). Линии тока.

При этом поток и циркуляция являются суммарными (интегральными) характеристиками, а дивергенция и ротор – дифференциальными (точечными) характеристиками поля.

о 2. Поток и дивергенция вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Потоком векторного поля через какую-либо сторону поверхности ( ) называется величина поверхностного интеграла от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности

Физический смысл потока векторного поля хорошо просматривается на примере поля скоростей частиц текущей жидкости. При этом, если поверхность свободно пропускает поток жидкости (сетка), то величина потока векторного поля через выбранную сторону поверхности есть количество жидкости, которое протекает через выбранную сторону поверхности в единицу времени, т. е. мощность течения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через внешнюю сторону поверхности ( ), окружающей эту точку, к объёму, ограниченному этой поверхностью, при стягивании объёма в точку

Физический смысл дивергенции векторного поля скоростей частиц текущей жидкости состоит в том, что дивергенция поля есть количество жидкости, которое выделяется (или поглощается) в данной точке пространства в единицу времени. Другими словами дивергенция есть удельная мощность векторного поля в точке.

При этом говорят, что в данной точке находится источник, если , сток, если , Нет ни источника, ни стока, если. Дивергенция поля в точке формуле вычисляется по Дивергенция поля есть постоянная величина, не зависящая от координат точки.

о 3. Формула Остроградского в векторной форме краткая запись формулы Остроградского:

Физический смысл формулы Остроградского Поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков внутри данной поверхности

Физический смысл формулы Остроградского Если величина потока вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности положительна, то внутри этой поверхности преобладают источники (выделяется больше, чем поглощается, и излишки вытекают наружу). Если величина этого потока отрицательна, то внутри поверхности преобладают стоки (выделяется меньше, чем поглощается, и идёт приток извне). Если величина равна нулю, то внутри поверхности источники и сток уравновешивают друга по мощности, либо их там вовсе нет.

о 4. Циркуляция вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого гладкого контура (L) называется величина криволинейного интеграла от скалярного произведения вектора поля на элементарный вектор касательной к контуру

о 5. Ротор (вихрь) поля ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ротором, или вихрем, векторного поля в некоторой точке называется вектор

о 6. Физический смысл ротора и циркуляции С физической точки зрения наличие ненулевого вектора-ротора силового поля в точке характеризует способность поля совершать работу при перемещении вдоль замкнутого контура, охватывающего точку , а величина циркуляции по контуру есть работа силового поля.

о 7. Формула Стокса в векторной форме

Физический смысл формулы Стокса Циркуляция векторного поля вдоль положительного направления контура равна потоку вектора – ротора поля через любую поверхность, натянутую на данный контур:

Спасибо за внимание!