ТЕОРИЯ ПЕРКОЛЯЦИИ Перколяция узлов на квадратной решетке

ТЕОРИЯ ПЕРКОЛЯЦИИ

Перколяция узлов на квадратной решетке p = 0, 21 S. R. Broadbent & J. M. Hammersley 1956 p = 0, 59 p = 0, 79

ПЕРКОЛЯЦИЯ КАК КРИТИЧЕСКОЕ ЯВЛЕНИЕ

Перколяционный переход pc = 0, 59

Радиус корреляции перколяционного перехода

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И РАДИУС КОРРЕЛЯЦИИ

динамическая перколяция p p

динамическая перколяция

ПЕРКОЛЯЦИОННЫЙ КЛАСТЕР Параметр порядка Радиус корреляции

РАДИУС КОРРЕЛЯЦИИ И РАЗМЕР СИСТЕМЫ L

Structural properties

Percolation cluster mass crossover

Percolation critical exponents

Химическая размерность фрактала

Percolation cluster chemical dimension

Dynamical properties Last & Thouless, 1971 Lauer & Maier, 1992 Iudin & Kasyanov, 1998 16%

Dielectric-metal composite + —

1 D percolation pc = ?

Евклидово расстояние на кластере

ХИМИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПЕРКОЛЯЦИОННОГО КЛАСТЕРА

Химическое расстояние на кластере

Перколяция связей pc = 0. 5

Другие типы решеток pc site = 0. 5 pc site ~ 0. 7 pc bond = 2 sin(π/18) ~ 0. 35 pc bond = 1 – 2 sin(π/18) ~ 0. 65

Continuum percolation

Задача окружностей (сфер) Континуальные перколяционные задачи Bc = πR 2 n R Bc = 1. 17 d=2 Bc = 0. 034 d=2

1 pc 0 Gradient percolation

Направленная перколяция ветер вероятность p

Направленная перколяция

Pinning by directed percolation

Семинар кафедры экологии биологического факультета ННГУ им. Н. И. Лобачевского СОК SOC Нижний Новгород, 2011

динамическая перколяция p p

динамическая перколяция

Кинетический переход типа «заселение среды» Распределенная открытая система Накачка Каскад неустойчивостей Заселение среды Механизм подавления роста

Модель лесных пожаров ε – скорость роста 1 1 ξ – вероятность случайного возгорания

Forest fires Size: 128 x 128; = 100 step-1; = 10 -2 step-1

Forest fires Size: 128 x 128; = 50 step-1; = 10 -2 step-1

Forest fires Size: 128 x 128; = 100 step-1; = 1 step-1

Forest fires Size: 128 x 128; = 10 step-1; = 5 10 -2 step-1

Forest fires Size: 128 x 128; = 10 step-1; = 5 10 -2 step-1

Эволюция во времени числа вспышек активности

САМООРГАНИЗОВАННАЯ КРИТИЧНОСТЬ Парадигма сложности масштабная инвариантность катострофичность целостность ε – скорость роста ξ – вероятность случайного возгорания L – размер системы

Частота появления кластеров как функция их размеров

Самоорганизованная критичность: определения и иллюстрации Самоорганизованная критичность (self-organized criticality) – это когда система в ходе своей естественной эволюции приходит в критическое состояние.

Что такое "критическое состояние" в физике? Это особое, "безмасштабное" состояние системы, когда микроскопическое воздействие может либо привести к таким же микроскопическим последствиям, либо вызвать макроскопическое лавинообразное переустройство всей системы.

С какой вероятностью небольшие изменения малой части системы могут отозваться на всем ее глобальном строении? Математически, вероятность того, что в результате микроскопического внешнего воздействия возникнет лавина размером L, имеет степенной вид: P(L) ~ L-alpha где показатель alpha может оказаться как целым, так и дробным числом (последнее чаще всего встречается в реальных системах). Зачастую этот степенной закон тянется на несколько порядков по L, без заметного "обрезания" на каком-либо масштабе. Именно поэтому такое поведение называют безмасштабным.

Что значит "естественная эволюция"? Это самопроизвольная эволюция, для которой не требуются какие-то особенные начальные условия или параметры. Это та эволюция, которую испытывает система, приготовленная "наобум". То есть, систему никто никак изначально не "склонял" к критичности, она самоорганизовалась.

Полтергейст Эффекты "мягкого вещества", одной из важнейших характеристик которого является большое число внутренних слабо связанных и сильно диссипативных степеней свободы.

Перераспределение энергии Схема распределения энергии деформации между разномасштабными степенями свободы в самом начале; начинается перетекание энергии в более крупномасштабные степени свободы -система спонтанно эволюционирует к критическому состоянию

Структура критического состояния все степени свободы уже переполнены, и небольшое микроскопическое воздействие по цепной реакции передается на самый крупный масштаб: возникает лавинная перестройка глобальной структуры системы

Потенциальный рельеф

Suppression mechanism

Brownian landscape

Самоорганизация лабиринтов

Отдел снабжения

River network quantities

Scaling laws a – basin area l, the length of the main stream L, the overall dimension

Dynamic generalization Live time

Нейрон

Модель нейрона в культурах клеток гиппокампа

Модель нейронной сети

Оценка радиуса зоны взаимодействия D. I. Iudin, V. B. Kazantsev, 2009 R H

Модель динамики

Топология циклов