Скачать презентацию Теория определителей Понятие определителя вводится лишь для квадратных Скачать презентацию Теория определителей Понятие определителя вводится лишь для квадратных

Лекция определители.ppt

  • Количество слайдов: 27

Теория определителей. Понятие определителя вводится лишь для квадратных матриц. Определитель- это число. Обозначения: Теория определителей. Понятие определителя вводится лишь для квадратных матриц. Определитель- это число. Обозначения:

Минор: Алгебраическое дополнение: Минор: Алгебраическое дополнение:

Определитель: разложение определителя по 1 -й строке Определитель: разложение определителя по 1 -й строке

Теорема. разложение по k- той строке Теорема. разложение по k- тому столбцу Теорема. разложение по k- той строке Теорема. разложение по k- тому столбцу

Свойства определителей. 1. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то он равен 0. Свойства определителей. 1. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то он равен 0. 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак. Доказательство.

Перестановка двух строк – нечетное число перестановок соседних. Перестановка двух строк – нечетное число перестановок соседних.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0. Доказательство. 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0. Доказательство.

Доказательство. Доказательство.

Доказательство. Доказательство.

7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель равен 7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель равен нулю. 8. Если к строке определителя прибавить линейную комбинацию других его строк, то определитель не изменится.

9. Сумма произведений элементов какй-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю. 9. Сумма произведений элементов какй-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю. Доказательство.

Доказательство проводится разложением определителя и алгебраических дополнений по первому столбцу. Вычисление определителей методом элементарных Доказательство проводится разложением определителя и алгебраических дополнений по первому столбцу. Вычисление определителей методом элементарных преобразований (метод Гаусса).

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение 1. Квадратная матрица А называется невырожденной, если |А| 0 , в ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение 1. Квадратная матрица А называется невырожденной, если |А| 0 , в противном случае матрица называется вырожденной (|А|=0 ). Определение 2. Квадратная матрица B называется обратной по отношению к матрице А того же порядка, если АB=BA=I. Обратная матрица обозначается символом

Определение 3. Матрица А* называется присоединенной к матрице А, если в ее к-ой строке Определение 3. Матрица А* называется присоединенной к матрице А, если в ее к-ой строке стоят алгебраические дополнения элементов к-ого столбца матрицы А.

Теорема 1. Для того чтобы существовала необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной. Доказательство. Теорема 1. Для того чтобы существовала необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной. Доказательство. Необходимость Достаточность

Теорема 2. Если то она единственна. Свойства обратной матрицы Доказательство. Теорема 2. Если то она единственна. Свойства обратной матрицы Доказательство.

Пример. Пример.

Формулы Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с невырожденной квадратной матрицей. Формулы Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с невырожденной квадратной матрицей.

- алгебраическое дополнение элемента в матрице - определитель, который получится, если в матрице A - алгебраическое дополнение элемента в матрице - определитель, который получится, если в матрице A заменить к-ый столбец столбцом правых частей B. формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей имеет и притом единственное решение, определяемое по формулам Теорема. СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей имеет и притом единственное решение, определяемое по формулам Крамера. Итак, если 0, то СЛАУ с квадратной матрицей имеет единственное решение. Если =0 и хотя бы один k 0, то СЛАУ с квадратной матрицей не имеет ни одного решения- несовместна. Если =0 и все k=0, то СЛАУ с квадратной матрицей имеет бесконечно много решений.

Пример. Пример.