Теория нечетких множеств к ф -м н

Теория нечетких множеств к. . ф. -м. н. , доцент Семёнова Дарья Владиславовна

Лотфи Аскер Заде (в научных работах обычно Лотфи Заде или Лотфи А. Заде, азерб. Lütfi Əsgər Zadə — Лютфи Аскер Заде, англ. Lotfi Asker Zadeh — Лотфи А. Заде) — американский математик, основатель теории нечётких множеств и нечёткой логики, профессор Калифорнийского университета (Беркли). 2

Биография Родился 4 февраля 1921 в Баку как Лютфи Алескерзаде (или Аскер Заде). Отец (Рагим Алескерзаде, журналист по профессии) был азербайджанцем и иранским подданным, мать (Фаня Кориман, врач-педиатр по профессии) — российского еврейского происхождения. Учился в русской бакинской школе, в детстве много читал — как классические произведения русской литературы, так и мировую классику в русских переводах. С 1932 года жил в Иране, на протяжении 8 лет учился в Американском колледже Тегерана (впоследствии известном как Alborz — миссионерской пресвиторианской школе с персидским языком обучения), затем на электроинженерном факультете в Тегеранском университете (окончил в 1942 году). Уже в школе познакомился со своей будущей женой Фаней Занд (в замужестве Фэй Заде, род. 1920) из семьи двинских евреев, бежавших из Германии в Тегеран после прихода к власти нацистов. Много лет спустя Фэй Заде стала автором наиболее полной биографии своего мужа — «Моя жизнь и путешествия с отцом нечёткой логики» (My Life and Travels with the Father of Fuzzy Logic, 1998). После окончания университета Лотфи А. Заде работал вместе с отцом поставщиком стройматериалов для дислоцированных в Иране американских войск, переехал в Соединенные Штаты в июле 1944 года и в сентябре поступил в Массачусетсский технологический институт (получил диплом магистра в области электрической инженерии в 1946 году). Родители Лотфи Заде в это время жили в Нью-Йорке, где он поступил в аспирантуру Колумбийского университета, а после защиты диссертации в 1949 году остался там же ассистентом на инженерном отделении. С 1959 года работает в Калифорнийском университете (Беркли). Опубликовал основополагающую работу по теории нечётких множеств в 1965, в которой изложил математический аппарат теории нечётких множеств. В 1973 предложил теорию нечёткой логики, позднее — теорию мягких вычислений (soft computing), а также — теорию вербальных вычислений и представлений (computing with words and perceptions). Дочь Лотфи А. Заде — Стелла Заде (27 июля 1947, Нью-Йорк — 7 июня 2006, Санта Барбара, Калифорния) — журналистка (её муж, Дэвид Л. Герш — адвокат и известный писатель). Сын — Норман Заде, также известный как Норм Зада (Norm Zada) — математик в области информатики, профессиональный игрок в покер, издатель эротического журнала для мужчин Perfect 10; автор пособия по игре в покер (Winning Poker Systems, 1974). 3

4

Неопределенность Нечеткость НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОСТЬ 5

Характеристическая функция или индикатор множества 6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Отношения НМ Включение: 20

Отношения НМ Эквивалентность: 21

Операции над множествами 22

Операции над НМ по Заде Дополнение НМ 23

Операции над НМ по Заде Дополнение НМ 24

Операции над НМ по Заде Объединение НМ 25

Операции над НМ по Заде Лемма 26

Операции над НМ по Заде 27

Операции над НМ по Заде Пересечение НМ 28

Операции над НМ по Заде Лемма 29

Операции над НМ по Заде 30

Операции над НМ по Заде Разность НМ 31

Операции над НМ по Заде 32

Операции над НМ по Заде Дизъюнктивная сумма (Симметрическая разность) НМ 33

Операции над НМ по Заде 34

Операции над НМ по Заде Наглядное представление 35

Операции над НМ по Заде Наглядное представление 36

Операции над НМ по Заде Наглядное представление 37

Операции над НМ по Заде Наглядное представление 38

Операции над НМ по Заде Свойства операций 39

Операции над НМ по Заде Свойства операций 40

Операции над НМ по Заде Свойства операций 41

Операции над НМ по Заде Возведение НМ в степень 42

Операции над НМ по Заде Произведение НМ на число Выпуклая комбинация НМ 43

Треугольная норма (T 1) –(T 4) Граничные условия: 44

Треугольные нормы Монотонность по обеим компонентам следует из (T 3) и (T 1) 45

Треугольные конормы (S 1) –(S 4) Граничные условия: 46

Треугольные нормы и конормы: примеры 47

Треугольные нормы и конормы: примеры 48

Треугольные нормы и конормы: примеры 49

Треугольные нормы и конормы: примеры 50

Треугольные нормы и конормы: примеры 51

Треугольные нормы и конормы 52

Треугольные нормы и конормы 53

Треугольные нормы : пример для НМ 54

Треугольные нормы : пример для НМ 55

Треугольные нормы : пример для НМ 56

Треугольные нормы : пример для НМ 57

Треугольные нормы : пример для НМ 58

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 59

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 60

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 61

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 62

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 63

Треугольные нормы и конормы: параметрические классы 64

Отрицание 65

Отрицание Строгое Квазистрогое Типы отрицаний Инволюция Обычное Слабое (интуиционисткое) 66

Отрицание m классическое Сугено, k = 3 квадратичное 67

Тройки де Моргана

Основные операции Название Пересечение Объединение Дополнение Разность Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма) Степень НМ Концентрирование (уплотнение) Растяжение Определение

Основные операции Название Контрастная интенсификация Умножение на число Выпуклая комбинация Декартово произведение Оператор увеличения нечеткости Определение

Степень НМ

Выпуклая комбинация B A 0. 25 A+0. 75 B 72

Декартово произведение A B

Оператор увеличения нечеткости

Оператор увеличения нечеткости

Множество уровня (сечение )

Множество уровня (сечение )

Множество уровня (сечение ) Сильное сечение Слабое сечение Свойства • • • - любая выпуклая комбинация НМ Для операций по Заде Для Tp и Sp

Теорема о декомпозиции Доказательство

Теорема о декомпозиции

Теорема о декомпозиции: примеры 1. 2.

Принцип обобщения Заде Принцип обобщения как одна из основных идей теории нечетких множеств носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения на класс нечетких множеств. 82

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение чёткого множества Отображение множества на множество : Значение на элементе называют образом элемента Образом множества при отображении называют множество Прообраз 83

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества - заданное чёткое отображение, - некоторое нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности В соответствии с принципом обобщения Заде образ при отображении определяется как нечеткое подмножество множества , представляющее собой совокупность пар вида где функция принадлежности образа где 84

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0. 9 0. 8 0. 6 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 =x 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 0. 9 0. 8 0. 6 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 85

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0. 1 0. 3 0. 5 0. 6 1 0. 9 0. 7 0. 2 0. 1 =x 2 0 1 4 9 16 {0} {-1, 1} {-2, 2} {-3, 3} {-4, 4} 1 0. 9 0. 7 0. 3 0. 1 86

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества 87

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества 88

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества 89

Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества 90

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Нечеткое отображение можно описать как отображение , при котором элементу ставится в соответствие не конкретный элемент множества , а нечеткое подмножество . 91

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Функция при фиксированном есть функция принадлежности нечеткого множества в , представляющего собой нечеткий образ элемента при данном отображении . Образом четкого множества отображении при нечетком будет объединение образов его элементов: 92

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества a b c d i 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 j 0. 1 0. 5 0. 6 0. 4 k 0. 2 0. 7 0. 8 1 y A ={a, c, d} i j k 0. 5 0. 6 1 93

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества y 94

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Образ точки x=2 95

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Образ множества [-1, 1] 96

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Пусть - заданное нечеткое отображение, - заданное нечеткое множество в . В соответствии с принципом обобщения Заде образ при отображении определяется как совокупность пар вида где при каждом фиксированном представляет собой нечеткое подмножество множества 97

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Образом нечеткого множества отображении при нечетком будет объединение образов его элементов: 98

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества a b c d i 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 j 0. 1 0. 5 0. 6 0. 4 k 0. 2 0. 7 0. 8 1 y a b c 1 0. 8 0. 5 d 0. 2 i j k 0. 4 0. 5 0. 7 99

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества y 100

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества 101

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Образ нечеткого множества 102

Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Нечеткое множество и его образ 103

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества Прообразом нечеткого множества в при нечетком отображении называется объединение всех нечетких множеств, образы которых при этом отображении принадлежат (являются подмножествами) множеству . 104

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 105

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества Теорема. Пусть Тогда прообраз нечеткого множества в при нечетком отображении описывается функцией принадлежности 106

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 107

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества u 0. 1 0. 3 0. 5 0. 6 A B C D u 0. 4 v 0. 7 0. 8 0. 9 0. 6 v 0. 7 w 0. 3 0. 6 0. 9 1 w 0. 9 z 0. 5 0. 6 0. 5 0. 9 z 1 108

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества ={(C, u), (D, u), (B, v), (C, v), (D, w)} NA = NB ={v} NC ={u, v} ND ={u, w} ={B, C, D} 109

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества A 1 B 0. 7 C 0. 4 D 0. 4 110

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 111

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 112

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 113

Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества 114

Показатель размытости: подходы к определению 1. Интерпретация как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости, обусловленных неполной, частичной принадлежностью объектов множеству. 2. Интерпретация как меры отличия нечеткого множества от обычного множества. 3. Существование нетривиального показателя размытости, удовлетворяющего определенным свойствам, напрямую зависит от свойств алгебры нечетких множеств и характеризует ее как алгебраическую структуру. 115

Показатель размытости: подходы к определению ь A. De Luca, S. Termini, A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory, Information and Control 20 (1972) 301– 312 ь Bart Kosko, Fuzzy Entropy and Conditioning, Information Sciences 40 (1986) 165– 174 ь S. Al-Sharhan, F. Karray, W. Gueaieb, O. Basir, Fuzzy entropy: a brief survey // The 10 th IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2001. Vol. 3 (S. l. , 2001) 1135– 1139. 116

Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Аксиомы Де Луки и Термини: 1. энтропия равна 0 только для четкого множества; 2. энтропия максимальна при значениях функций принадлежности 0, 5; 3. для более нечеткого множества энтропия всегда больше, чем для менее нечеткого; 4. для нечеткого множества и его дополнения (отрицания) энтропия одинакова. 117

Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Глобальный показатель размытости нечеткого множества определим в виде функционала , удовлетворяющего следующим условиям: Показатель размытости - аддитивный, симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на множестве всех нечетких подмножества 118

Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Утверждение. Вещественный, определенный на функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление где вещественнозначные функции от такие, что строго возрастает на интервале и — число элементов множества . 119

Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Логарифмическая энтропия нечетких множеств где — функция Шеннона 120

Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Метрика – функция расстояния. 1. Аксиома тождества 2. Аксиома неотрицательности 3. Аксиома симметричности 4. Неравенство треугольника 121

Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Виды расстояний между нечеткими множествами Формула Область значений Хемминга (линейное) Евклидово (квадратичное) Относительное расстояние Хемминга Относительное евклидово расстояние 122

Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Множеством, ближайшим к нечеткому множеству , называется обычное множество такое, что Максимально размытое множество 123

Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Метрический показатель размытости qмера отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества; qрасстояние до максимального размытого множества qрасстояние между нечетким множеством и его дополнением. 124