Теория напряженного состояния Плоское напряженное состояние Вопросы

Теория напряженного состояния Плоское напряженное состояние

Вопросы для самоконтроля 1. Какие напряжения называются главными? 2. Какие площадки называются главными? 3. Вывод формулы для определения величин главных напряжений 4. Вывод формулы для определения углов наклона главных площадок 5. Вывод формулы экстремальных касательных напряжений 6. Что представляют собой площадки сдвига и как они наклонены главным площадкам? 7. Чему равны экстремальные значения касательных напряжений в случае плоского напряженного состояния?

Плоское напряженное состояние Главные напряжения. Главные площадки При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку Достаточно знать экстремальные минимальные) их значения (т. е. максимальные и Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют, - главными площадками

Главные напряжения. Главные площадки Для определения величины главных напряжений и положений главных площадок приравниваем нулю первую производную напряжения: или (1) Здесь - углы наклона главных площадок к площадке, в которой действует напряжение Сравнивая (1) с формулой Устанавливаем, что Решая уравнение (1) относительно угла (2) или (3)

Главные напряжения. Главные площадки Формулы (2) и (3) дают значения углов перпендикулярные площадки , определяющие две взаимно При любом значении , полученном по формуле (2) или (3), можно установить соответствующую величину угла , находящегося в интервале и, следовательно, значение Поэтому поворот площадок всегда можно произвести на угол, не более По одной из главных площадок действует максимальное напряжение, а по другой – минимальное напряжение Используя выражение (2), по формулам из тригонометрии находим:

Главные напряжения. Главные площадки Подставив эти выражения в формулу: Получим выражения экстремальных нормальных напряжений: (4) Для определения положения главной площадки с напряжением можно выполнить следующее: площадку с большим в (алгебраическом смысле слова) нормальным напряжением повернуть на угол (по абсолютной величине не более 45 градусов) в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра После определения положения главной площадки с максимальным напряжением легко находится перпендикулярная к ней вторая главная площадка с минимальным напряжением

Экстремальные касательные напряжения Определим площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные (максимальные и минимальные) значения Такие площадки будем называть площадками сдвига Для этого приравняем нулю первую производную касательного напряжения по наклонной площадке, используя выражение: или откуда (5) Здесь - Угол наклона площадки сдвига к площадке по которой действует напряжение Формула (5) дает значения углов, определяющих две взаимно перпендикулярные площадки, по одной из которых действует максимальное касательное напряжение, а по другой - минимальное

Экстремальные касательные напряжения Сравнивая выражение (5) с выражением (2), устанавливаем, что откуда следовательно Таким образом, площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углом Для определения величин за исходные примем главные напряжения значения Подставив в формулу (6) получим Подставив в формулу (6) значения по формулам (4), найдем (7)

Экстремальные касательные напряжения Определение экстремальных значений касательных напряжений и площадок сдвига производят одним из следующих способов 1. Если одновременно определяют также главные нормальные напряжения и главные площадки, то экстремальные касательные напряжения вычисляют по формулам (6) или (7) Положения площадок сдвига определяют по положениям главных площадок, к которым они всегда наклонены под углом 45 градусов Экстремальные касательные напряжения действуют в направлениях от , как показано на рис. 2. Если главные нормальные напряжения не определяются, то с помощью формулы (5) находят углы наклона площадок сдвига, а затем по формуле или формуле (7) вычисляют значения действующих по этим площадкам экстремальных касательных напряжений