Теория напряженного состояния Обобщенный закон Гука Потенциальная энергия деформации
Вопросы для самопроверки 1. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках? 2. Что называется полной удельной потенциальной энергией деформации и из каких частей она состоит? 3. Вывести формулы, выражающие обобщенный закон Гука 4. Что называется потенциальной энергией изменения объема? 5. Вывести формулу изменения объема при пространственном напряженном состоянии 6. Вывести формулу полной удельной потенциальной энергии, удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы 7. Какова размерность удельной потенциальной энергии? 8. Для каких напряжений действительны формулы потенциальной энергии деформации?
Обобщенный закон Гука Формулы относительных деформаций бруса, полученные для центрального растяжения или сжатия можно обобщить на случай трехосного (пространственного) напряженного состояния 1 2 3 1 Для этого выделим из тела элементарный параллелепипед На основании принципа независимости действия сил рассмотрим влияние нормальных напряжений В результате воздействия этих напряжений получаем:
Обобщенный закон Гука Относительные деформации, вызванные воздействием напряжений равны: одновременным После замены относительных деформаций (1) Аналогичные формулы можно получить и для случая, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, т. е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений действуют также и касательные
Обобщенный закон Гука Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменение прямых углов между его гранями Для указанных случаев формулы имеют вид: (2) Выражения (1) и (2), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями пространственном напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука
Потенциальная энергия деформации Для определения потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементарной частице тела, выделим из тела элементарный параллелепипед, ребра которого а грани совмещены с главными площадками В общем случае трехосного напряженного состояния на каждую грань параллелепипеда перпендикулярно к ней действует внешняя сила, равная произведению нормального напряжения на площадь этой грани На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням
Потенциальная энергия деформации В результате действия на элементарный параллелепипед внешних сил его ребра удлиняются на следующие величины: (3) Работа внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия определяются выражением: Здесь каждое из слагаемых представляет собой работу нарастающей силы Подставляем в это выражение значения удлинений из (3): Разделив выражение на первоначальный объем параллелепипеда , получим общее количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т. е. так называемую полную удельную потенциальную энергию деформации:
Потенциальная энергия деформации (4) Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями (1) : (5) Размерность удельной потенциальной энергии или Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяется на величину (6) Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, т. к. в результате того, что Относительные удлинения ребер оказываются различными и первоначальное соотношение между длинами ребер изменяется
Потенциальная энергия деформации Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы его объем изменился на величину, определяемую формулой (6), а форма сохранилась прежней Сохранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем граням одинаковых напряжений. При этом изменение объема параллелепипеда равно: Приравниваем его фактическому изменению, определяемому формулой (6)
Потенциальная энергия деформации Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние параллелепипеда можно расчленить на два напряженных состояния В первом из них объем параллелепипеда изменяется, а форма его остается неизменной Потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения объема
Потенциальная энергия деформации Во втором состоянии объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется лишь его форма Потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения формы Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергией изменения объема, подставим в формулу (5) напряжения (7) (8)
Потенциальная энергия деформации Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергией изменения формы, подставим в правую часть формулы (5) напряжения После преобразований и замены (9) Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной потенциальной энергии деформации, т. е. (10)
Потенциальная энергия деформации Зная удельную потенциальную энергию деформации в каждой точке упругого тела, можно вычислить потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле: (11) Из формул (5), (7) и (9) легко получить выражения удельных потенциальных энергий для случаев двухосного и одноосного напряженных состояний Так, например, для двухосного напряженного состояния получим (12) Если в этих равенствах главные напряжения заменим их выражениями через напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках с помощью формулы: , то после преобразований получим:
Потенциальная энергия деформации (13) (14) В формулах (13) нормальные напряжения учитываются одними слагаемыми, а касательные напряжения - другими Это означает, удельную потенциальную энергию деформации можно вычислить отдельно от нормальных напряжений, действующих по боковым граням элементарного параллелепипеда, и отдельно от касательных напряжений Полученные здесь формулы действительны для напряжений, не превышающих предела пропорциональности материала
Скачать презентацию Теория напряженного состояния Обобщенный закон Гука Потенциальная энергия
Лекция 3. Теория напряженного состояния (3).pptx