Теория множеств Числовые последовательности Множества и их

Теория множеств Числовые последовательности

Множества и их обозначения Множеством называют совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку. • Примеры множеств: - натуральные числа, целые числа, действительные числа. Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества. Множество, которое имеет конечное число элементов – именуется конечным множеством; бесконечное - бесконечным. • Пример: M = a, b, c, d - некоторое множество в виде характеристического свойства. • Множество натуральных четных чисел: N 2={2*n, где n N} Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Множества чисел и их обозначения N - множество натуральных чисел - {1, 2, 3, …, n, …. } Z - множество целых чисел {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, …… } Q - множество рациональных чисел – это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m -принадлежит множеству целых чисел, а n множеству натуральных чисел Q={m/n, m Z, n N} J - множество иррациональных чисел: J={ 2, 3, , e, . . } R - множество действительных чисел: R=Q U J C - множество комплексных чисел: C={a+i*b; i= -1, a, b R}

Любое множество графически можно изобразить в виде круга (диаграммы Эйлера-Венна): А Множество В называется подмножеством множества А, (В А), если любой элемент множества В, является элементом множества А. А В

Основные операции над множествами Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. В виде характеристического свойства: А U В={x, x A или x B} В виде кругов (диаграммы Эйлера-Венна): А В Пример: А = {1, 2, 3} B = {2, 4, 5} АUВ А U В = {1, 2, 3, 4, 5}

Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А В={x, x A и x B} А В Пример: А = {1, 2, 3} B = {2, 4, 5} А В={2}

Разность двух множеств А и В (обозначается АВ) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В: АВ={x, x A и x B} Пример: А = {1, 2, 3} B = {2, 4, 5} АВ = {1, 3}

Вещественные числа и их основные свойства Аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа. Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и J иррациональных чисел. Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q¹ 0. Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби. Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.

Основные свойства вещественных чисел Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b (сумма и произведение), обладающими следующими свойствами: 1) a+b=b+a (переместительное свойство) — коммутативность сложения. 2) a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения. 3) a·b=b·a (переместительное свойство) — коммутативность умножения. 4) a·(b·c)=(a·b)·c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения. 5) (a+b)·c=a·c+b·c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения. 6) Существует единственное число 0 такое, что a+0=a для любого числа а. 7) Для любого числа а существует такое число -а, что а+(-а)=0. 8) Существует единственное число 1 такое, что для любого числа а имеет место а· 1=а. 9) Для любого числа а существует такое число a-1, что а·a-1=1. -1

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а = b, а > b или b > а (равенство или больше). Отношение = обладает транзитивным свойством: если а = b и b = с, то а = с. Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа a, b и с: Если а > b и b > с, то а > с. Если а > b, то а + с > b + с. Если а > 0 и b > 0, то а · b > 0. Вместо а > b пишут также b < a (меньше). Запись а b (или, что то же, b а) обозначает, что либо а = b, либо a > b.

Соотношения а < b, а b, a > b, a b называются неравенствами. Неравенства аb называются строгими неравенствами. Неравенства а b, a b называются нестрогими неравенствами. Число а, удовлетворяющее неравенству а > 0, называется положительным, неравенству а < 0, — отрицательным, неравенству а ≥ 0, — неотрицательным, неравенству а ≤ 0, — неположительным. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел х Х и y Y выполняется неравенство х у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства х с у. Свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество рациональных чисел.

Основные числовые множества Обычно используют следующие обозначения некоторых числовых множеств: N={1, 2, 3, …, n, …} множество натуральных чисел Z={…, −n, …, − 1, 0, 1, …, n, …} множество целых чисел R - множество действительных чисел. Очевидно, что N Z R. Пусть x, a, b R. Вышеперечисленные множества называют числовыми промежутками или, короче, промежутками. Промежутки (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a, ] (−∞, a), (−∞, +∞) являются бесконечными, а промежутки [a, b], (a, b), [a, b), (a, b] конечными. Числа a и b называют концами, а число (b−a) длиной конечного промежутка.

Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества Множество X R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для всех x X имеет место неравенство x < b. Число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X. b R x X: x < b Множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число a R, что для всех x X выполняется неравенство x > a. Число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Множество, не являющееся ограниченным сверху, называется неограниченным сверху. Множество X называется неограниченным сверху, если для любого числа b R найдется такой x X, что x > b. b R x X: x > b

Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества Множество, не являющееся ограниченным снизу, называется неограниченным снизу. Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Множество натуральных чисел N является примером ограниченного снизу множества. Если a R и b R, то отрезок [a, b] представляет собой ограниченное множество. Множества рациональных чисел Q, иррациональных чисел I, вообще всех чисел R дают примеры неограниченных множеств.

Наибольший (наименьший) элемент множества. Произвольное множество действительных чисел Е. Наибольшее (максимальное) число М. Наименьшее (минимальное) число m. Если множество конечно, т. е. состоит из конечного числа чисел, то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.

Примеры: 1) Z = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, … , 4) a, b , 2) N = 1, 2, 3, … , 5) a, b), 3) N_ = …, -3, -2, -1 , 6) (a, b). Множество Z не имеет наибольшего и наименьшего чисел. Интервал (a, b) тоже не имеет наибольшего и наименьшего чисел. При этом здесь не имеет значения, будут ли числа a, b конечными или бесконечными. Каково бы ни было число c (a, b), т. е. число, удовлетворяющее неравенствам a < c < b, всегда найдутся числа c 1, c 2 ; такие, что a < c 1 < c 2 < b. Множество N не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший x = 1. Множество N_ имеет наибольший элемент x = -1, но не имеет наименьшего. Очевидно также min a, b =a, max a, b =b, min a, b)=a , однако максимального числа в a, b) нет.

Верхняя (нижняя) грань множества Для произвольного множества Е вводятся числа, которые по возможности заменяли бы max E и min E. Такими числами (конечными или бесконечными) являются точная верхняя грань множества sup E = sup x = M x E и точная нижняя грань множества inf E = inf x = M x E

Пусть множество E ограничено сверху. Число M (конечное) называется точной верхней гранью множества E, если для него выполняются два условия: 1) x M x E, 2) для любого ε >0 существует точка x 1 E такая, что выполняются неравенства M – ε < x 1 M. sup E = M есть наименьшая из верхних границ (мажорант). Пусть множество E ограничено снизу. Число m (конечное) называется точной нижней гранью множества E, если для него выполняются два условия: 1) m x x E, 2) для любого ε >0 существует точка x 1 E такая, что выполняются неравенства m < x 1 m + ε. inf E = m есть наибольшая из нижних границ. Очевидно, если в множестве E действительных чисел имеется наибольшее (наименьшее) число, т. е. существует max E (min E), то sup E = max E (inf E = min E).

Пример. Множество E = {1/2, 2/3, 3/4, …. } = {n/(n+1)} имеет наименьшее число, равное ½ (min E = ½). Однако оно не имеет наибольшего, т. к. ½ < ⅔ < ¾ < …. Но оно ограничено сверху числом 1 или любым числом, большим 1. Н, именно, число 1 есть точная верхняя грань E. sup E = 1 Док-во: 1. n/(n+1) < 1 n N 2. Для ε >0 n 1 N : 1 – ε < n 1/(n 1+1) < 1 Если множество E не ограничено сверху, то sup E = + ∞ Если множество E не ограничено снизу, то inf E = - ∞

Числовые последовательности Числовая последовательность – функция вида y = f(x), x N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y 1, y 2, …, yn, …. Значения y 1, y 2, y 3, … называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности. Число a называется пределом последовательности x = {xn }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε. Если число a есть предел последовательности x = {xn }, то говорят, что xn стремится к a, и пишут Lim xn = a n ∞

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: y 1 < y 2 < y 3 < … < yn+1 < …. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > … > yn+1 > …. Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T. Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями a 1 = a, an = an– 1 + d (n = 2, 3, 4, …) Геометрическая прогрессия - это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями b 1 = b, bn = bn– 1 * q (n = 2, 3, 4…).

Виды последовательностей Ограниченные и неограниченные последовательности Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M. Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М; Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

Монотонность последовательностей Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1); Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn

Бесконечно большие и малые последовательности Бесконечно малая последовательность - это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Последовательность an называется бесконечно малой, если ℓim an=0. n→ ∞ Например, последовательность чисел an=1/n — бесконечно малая. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0, если ℓim f(x)=0. x→x 0 Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓim f(x)=0 либо ℓim f(x)=0 x→+∞ x→-∞ Бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓim f(x)=а , то f(x) − a = α(x), ℓim f((x)-a)=0 x→+∞

Бесконечно большие последовательности Бесконечно большая последовательность - числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности. Последовательность an называется бесконечно большой, если ℓim an=∞ n→ ∞ Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0, если ℓim f(x)= ∞. x→x 0 Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если ℓim f(x)= ∞ либо ℓim f(x)= ∞. x→+∞ x→-∞

Свойства бесконечно малых последовательностей Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули. Если {xn} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой. Если {an} — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве. Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю. Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится. Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной. Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность. Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела. Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй. Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

Предел последовательности Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε. Если число a есть предел последовательности x = {xn }, то говорят, что xn стремится к a, и пишут ℓim xn=a. n→ ∞

Определение в геометрических терминах Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности. - ε < xn – a < ε или a - ε < xn < a + ε Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε). Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.